как можно легко и быстро находить сумму и разность дробей, но, поверите ли, я был слишком робким, чтобы озвучить свои идеи перед всем классом.
Вопрос. Я додумался до некоторых из этих методов и подходов самостоятельно, успевая всегда лучше других своих одноклассников по математике. Это несправедливо, что вы учите детей тем же вещам, до которых я додумался сам. Поэтому я заслуживаю некоторого преимущества и признания.
Ответ. Это мне высказал один американский школьник. На мой взгляд, обучая детей математике, мы должны учить их наилучшим существующим методам и подходам и как можно лучше объяснять им все связанные с этим нюансы. Не следует оставлять их в качестве задач повышенной сложности для «самых способных» учеников ради самостоятельного осмысления. Почему не дать возможность каждому ребенку преуспевать в математике?
Вопрос. Преподавание данных методов превратит неуспевающих учеников в хорошо успевающих. Многие из них потеряют друзей из-за того, что станут лучше учиться. Не приведут ли ваши методы к проблемам во взаимоотношениях детей?
Ответ. Я до сих пор не уверен, был ли вопрос задан серьезно, хотя реакция окружающих как будто бы подтверждала это.
Хочу сказать, что я скорее готов решать проблемы, вызванные тем, что ребенок стал лучше успевать по математике и иным предметам, чем проблемы, связанные с недостатком интеллекта и плохими показателями в учебе.
Вопрос. Я — молодой учитель, недавно закончивший институт. Не будет ли у меня проблем, если я начну преподавать данные методы? Что будет, если мои четвероклассники к концу учебного года начнут решать примеры как шестиклассники?
Ответ. Если есть два метода чему-либо научить — легкий и сложный, — кто же станет следовать сложному методу? Если, изучая таблицу умножения для чисел 3 и 4, дети параллельно выучат таблицу умножения для 5, 6, 7, 8 и 9, разве это плохо? Вы учите детей тому, чему вам положено учить, но просто не тем способом, которому вас научили.
Методы, о которых идет речь, попадают в рамки требований системы образования, поскольку позволяют научить детей тому, что от них требуется по программе, и плюс еще немного сверх того. Мой учитель в девятом классе Гарри Форкаст учил нас математике уровня девятого класса с элементами курса математики одиннадцатого. Я обожал изучать математику под его руководством. Я не мог дождаться того момента, когда приду домой и сяду за самостоятельное решение задач. Он учил нас приемам более быстрого вычисления, что являлось частью его методики обучения. Я чувствовал себя как Шерлок Холмс, разгадывающий очередную тайну, когда применял его методы для решения алгебраических задач.
Учителя пятых и шестых классов должны быть рады, что их ученики опережают усвоение материала, и использовать эту возможность, чтобы продвинуть их знания еще дальше. Уверен, что эти методы будут преподавать в школах повсеместно. И я очень надеюсь, что настоящая книга в этом поможет.
Вопрос. Я тоже молодой учитель и всегда ужасно боялась математики. Что будет, если я стану учить детей вашим методам и вдруг в какой-то момент запутаюсь и не буду знать, как двигаться дальше? Что, если ученики зададут мне вопрос, а я не смогу на него ответить? Может быть, безопаснее использовать те же методы, что и другие учителя? Не возьму ли я на себя излишний риск, если буду учить детей согласно вашим методам?
Ответ. Конечно, некоторый риск есть, но его можно свести к минимуму. Методы совсем несложные. Начинайте постепенно. Научите детей сначала тому, как вычислять произведения пар чисел до 10 х 10. Пусть как следует поупражняются несколько дней. Затем научите их решать примеры с числами от 90 до 100. По сути, речь идет о тех же произведениях, но в гораздо более интересных примерах. Решая их, они не только еще лучше запомнят таблицу умножения для однозначных чисел (когда будут перемножать числа в кружках), но и для чисел побольше, комбинации цифр, которые дают в сумме 10. Следующим шагом будет изучение простого способа вычисления примеров, когда одно число вычитают из числа больше 10, но меньше 20. 14 — 8 = 4 + 2 = 6 (см. главу 9).
Затем, когда будете обучать их методу перемножения чисел больше 10 и меньше 20, вам придется ввести понятие положительных и отрицательных чисел. Вам не нужно давать подробных разъяснений, просто скажите, что данное понятие более подробно будет объяснено позднее.
Обучая детей данным методам, вы обнаружите, как шлифуется ваша способность работать с числами. У вас укрепится уверенность в своих силах. Скажите своим ученикам, что вы изучаете эти методы вместе с ними, что сделает методику более интересной для учеников.
Приложение Б
Приближенное значение кубического корня
Нам нечасто приходится вычислять приближенное значение кубического корня, однако иногда возникает необходимость узнать размеры сферы или куба. Например, когда мы цементируем подъезд к гаражу, нам может потребоваться вычислить объем (то есть кубическую величину) цемента, песка или гравия. Для большинства людей существует единственный способ вычислить кубический корень — воспользоваться калькулятором. Даже в этом случае это должен быть инженерный калькулятор.
Кубический корень из 27 равен 3, поскольку 3 х 3 х 3 = 27. Чтобы возвести три в куб, необходимо перемножить число 3 три раза. 3 в кубе равно 27. Кубический корень из 27 равен 3. Это записывается так: 3√27. Цифра 3 над знаком корня говорит о том, что это кубический корень. (По идее, над знаком квадратного корня следует ставить цифру 2, однако в этом случае общепринято опускать цифру над корнем.)
Я покажу простой способ вычисления приближенного значения кубического корня, точно так же как ранее показал способ оценки значения квадратного корня. Для использования простой формулы, которую я вам предложу, достаточно иметь простейший калькулятор, умеющий лишь складывать, вычитать, умножать и делить.
Во-первых, необходимо запомнить кубы чисел от 1 до 10:
13 = 1; 43 = 64
23 = 8; 53 = 125
33 = 27; 63 = 216
73= 343; 93 = 729
83= 512; 103 = 1000
Кубы чисел от 1 до 5 не представляют проблем, поскольку их легко вычислить, если они забудутся.
Первым делом при нахождении квадратного корня из числа мы разбивали его на пары цифр, поэтому:
Чтобы найти кубический корень из числа, разбиваем его цифры на группы по три. Количество таких групп дает нам количество цифр ответа.
Затем мы оцениваем значение кубического корня из числа, составленного из первой
