классу. (Объяснение того, почему работает формула, на которой основан метод, см. в приложении Г.) Любой ученик четвертого класса, полностью проработавший примеры, предлагаемые в книге, должен понять это объяснение.
Что означает произведение 6 х 7, надо объяснять ученикам до того, как требовать от них ответа. Работать по одним правилам недостаточно. Математику надо понимать. Ученики, которые учатся по методам, предлагаемым здесь, как правило, демонстрируют прекрасные результаты в понимании математических законов, а также в меньшей степени, чем другие дети, оказываются скованными рамками общепринятых правил.
Вопрос. Если в школе учат другим методам, не приведет ли это к неразберихе в голове моего ребенка?
Ответ. Нет. Предлагаемые здесь методы дополняют то, что дети изучают в школе. Успешные ученики используют иные методы, чем те, кто успевает плохо. Иногда это может смутить учителя, но вряд ли способно причинить какой-либо вред ученику. Большинство данных методов работают на незримом уровне. Речь идет лишь о пользе, которую способно принести ученику их применение. Если ученик не расскажет о том, что он предпочитает использовать некие особые методы решения примеров, об этом никто никогда не догадается.
Вопрос. Учителя моих детей требуют, чтобы ученики полностью отображали ход решения в своих тетрадях. Если вычисления выполнять в уме или как-то иначе, как им тогда быть?
Ответ. Ученики обязаны делать то, что требует учитель. Если ученик сдает экзамен, то, естественно, он должен продемонстрировать учителю те знания и умения, которые тот от него ждет.
На обычном уроке, если учитель требует ребенка показать, как он вычислил произведение 13 х 14, ученику достаточно будет сказать: «Я знаю таблицу умножения до двадцати включительно. Мне не нужно вычислять такие произведения на бумаге». Если учитель попросит ученика подтвердить свои слова делом, то ученик покажет, что действительно способен вычислять в уме, и очень быстро, любое произведение чисел от 10 до 20. Ученик также может выполнить мгновенную проверку ответа путем выбрасывания девяток. Учителя это только впечатлит, но никак не раздосадует.
Вопрос. Ваш метод не всегда предлагает самое простое решение. Зачем мне его использовать, если существует более простой альтернативный способ?
Ответ. Разумеется, в таком случае вам следует использовать тот способ, который вы считаете более простым. Я предлагаю здесь некоторые весьма простые методы, но за вами остается полное право использовать те, которые, на ваш взгляд, еще проще.
Например, если бы вам надо было перемножить 8 и 16, вы могли бы нарисовать кружки и взять 10 в качестве опорного числа. Я бы так не делал, а, скорее всего, умножил бы 8 на 10, а затем прибавил бы произведение 8 х 6 (80 + 48 = 128). Или сначала перемножил 8 и 8, что дало бы 64, а затем удвоил бы этот результат.
Я нахожу важной частью своих преподавательских подходов предоставление ученикам нескольких методов на выбор. Однажды ученица подошла ко мне и сказала: «Извините, мистер Хэндли, но я больше не пользуюсь вашими методами».
«Почему?» — спросил я.
«Я теперь знаю наизусть произведения чисел и просто вспоминаю нужный ответ».
Как, по-вашему, счел ли я это чем-то предосудительным? Вовсе нет. Ученица лишь сказала мне, что помнит теперь произведения чисел от 15 и выше.
Ученики, овладевшие данными методами, реже решают задачи строго в соответствии с правилами и склонны проявлять оригинальность.
Вопрос. Зачем вы учите учеников вычислению всех этих примеров? Для чего нам калькуляторы?
Ответ. Калькулятор не станет думать за вас. Ученики будут гораздо лучше разбираться в принципах вычислений, если возьмут на вооружение представленные здесь методы. Именно принципы, а не голые правила будут их основным средством в поиске решений математических задач.
Когда подобный вопрос мне задают в классе, я прошу учеников достать свои калькуляторы и вычислить с их помощью один пример.
Я предлагаю им вводить цифры и арифметические знаки в том порядке, в каком их называю:
2 + 3 х 4 =
У некоторых детей калькуляторы дают в ответе 20. У других — 14. Правильным ответом является 14.
Почему два разных ответа? Не все калькуляторы «знают», в каком порядке следует выполнять арифметические операции. Например, сначала надо перемножать, а потом складывать или вычитать. Рассматриваемый пример на самом деле следует читать так: «Два плюс трижды четыре».
3 на 4 равно 12, плюс 2 — получаем 14.
Калькулятор не будет за вас думать; он вам не поможет, если вы не знаете основ математики. Наилучшим образом понимать природу чисел и принципы, на которых основаны математические вычисления, помогают подходы и методы наподобие тех, что предлагаются в данной книге.
Вопрос. Вы за или против калькуляторов?
Ответ. Калькуляторы — полезные устройства. Они позволяют вам сэкономить много времени и сил. Я очень часто ими пользуюсь.
Ученики, бывает, спрашивают у меня: «Как бы вы перемножили шестнадцать миллионов триста сорок девять тысяч шестьсот восемьдесят девять на четыре миллиона восемьсот шестьдесят две тысячи сто девяносто четыре?» Я отвечаю им, что первым делом полез бы в карман за калькулятором. Ученики, кажется, порой ждут от меня другого ответа. Я часто пользуюсь калькулятором. Когда мне надо сложить колонку чисел, я прибегаю к помощи калькулятора. Часто я перепроверяю на калькуляторе полученный в уме ответ, поскольку знаю, что ошибки всегда возможны.
Я также делаю мысленную прикидку ответа, чтобы проверить, отвечает ли логике полученный на калькуляторе ответ. Последний должен быть того же порядка, что и моя мысленная оценка.
Когда инженерные калькуляторы только начали продавать, я купил самый недорогой. Я обнаружил, что не знаю всех имеющихся в нем функций, и поэтому потратил некоторое время на их детальное освоение. В результате калькулятор помог мне повысить мои знания в некоторых областях статистики, о которых я ранее и не слышал.
Я часто задумывался над тем, чего бы добились гениальные математики прошлого, если бы им в руки попался современный инженерный калькулятор. Уверен, что они нашли бы ему прекрасное применение и, наверное, добились бы гораздо большего.
Вопрос. Вы сами придумали эти методы?
Ответ. Да, многие из представленных в книге методов придуманы мною, например метод с кружками и опорным числом. Но умножению и делению с помощью множителей меня научили еще мои учителя начальных классов — мисс Кларк и миссис О’Коннор. Мисс Кларк научила меня методу вычитания и умножению по множителям, а миссис О’Коннор — методу деления в столбик по множителям. Затем на протяжении учебы в школе я освоил много новых методов и приемов вычисления.
В начальной школе я самостоятельно дошел до того,
