пещерах», поскольку убежден, что без математики мы нашли бы другие пути развития. Я не утверждаю, что одной только математикой объясняется наш прогресс. Математика наиболее полезна в сочетании со всем остальным, что человечество может применить для решения проблем и достижения целей. Но мы находимся в современном состоянии, потому что именно математика, наряду со всем остальным, помогла нам до него добраться. Мы так глубоко внедрили математику в свои технологические и социальные структуры, что без нее оказались бы в жуткой ситуации.
В главе 1 я перечислил шесть характерных черт математики: реальность, красота, общность, переносимость, единство и разнообразие. Все вместе они обусловливают полезность. Укладывается ли все это в единую картину теперь, когда вы прочли главы 1–13?
Многие математические идеи, о которых мы говорили, берут начало в реальном мире: числа, дифференциальные уравнения, задача коммивояжера, теория графов, преобразование Фурье, модель Изинга. Математика черпает вдохновение в природе, и это ей идет только на пользу.
Другие области интересующего нас предмета возникли в значительной степени благодаря чувству прекрасного, свойственному математикам-теоретикам. Комплексные числа были придуманы потому, что некрасиво, когда одни числа имеют два квадратных корня, а другие – ни одного. Модулярная арифметика, эллиптические кривые и другие части теории чисел появились, потому что людям нравятся красивые числовые закономерности, а преобразование Радона – потому что это интересный вопрос геометрии. Топология на протяжении столетия имела мало общего с реальностью, но стала одним из столпов математического здания, потому что речь в ней идет о непрерывности, а непрерывность фундаментальна.
Стремление все обобщать заметно в математике всюду. Эйлер не просто решил головоломку о мостах Кёнигсберга – он решил все без исключения головоломки этого типа и создал новую область математики, теорию графов. Шифры на основе модулярной арифметики привели к вопросам о вычислительной сложности и о том, действительно ли P ≠ NP. Комплексные числа вдохновили Гамильтона на создание кватернионов. Анализ был обобщен до функционального анализа, где пространствам конечной размерности на смену пришли функциональные пространства бесконечной размерности, а на смену функциям – функционалы и операторы. Математики придумали гильбертовы пространства квантовой теории задолго до того, как физики нашли для них применение. Топология началась с игрушек вроде ленты Мёбиуса, а затем во взрывном темпе переросла в одну из самых глубоких и абстрактных областей человеческой мысли. Теперь она начинает находить себе применение и в повседневной жизни.
Многие рассмотренные нами методы переносимы и используются в других местах независимо от того, где они в свое время появились. Теория графов применяется в медицинских задачах о пересадке почек, в задаче коммивояжера, в квантовых шифрах (расширяющие графы), в спутниковых навигаторах. Преобразование Фурье изначально было придумано для изучения тепловых потоков, но среди его родичей можно найти и преобразование Радона, используемое в медицинских сканерах, и дискретное родственное преобразование, необходимое для сжатия изображений в формате JPEG, и вейвлеты, которые ФБР использует для эффективного хранения отпечатков пальцев.
Тема единства математики тоже проходит красной нитью через все мои истории. Теория графов переходит в топологию. Комплексные числа появляются в задачах по теории чисел. Модулярная арифметика вдохновляет на построение групп гомологий. Спутниковая навигация соединяет в одной области применения по крайней мере пять частей математики, от псевдослучайных чисел до теории относительности. Динамика помогает вывести спутники на орбиту и предлагает новый метод контроля качества пружинной проволоки.
Разнообразие? В главах этой книги, если взять их вместе, фигурируют десятки областей математики, как правило, в сочетаниях. Их спектр простирается от числовых областей до геометрических, от иррациональных чисел до бутылок Клейна, от принципов справедливого дележа тортика до климатических моделей. Вероятности (цепи Маркова), графы и исследование операций (методы Монте-Карло) объединяются ради повышения шансов пациентов на получение почки для пересадки.
Что касается полезности, то спектр применений еще более разнообразен и охватывает сферы от компьютерной анимации до медицины, от производства пружин до фотографии, от интернет-торговли до прокладки авиамаршрутов, от мобильных телефонов до датчиков безопасности. Математика всюду. А я показал вам лишь крохотную часть того, что незаметно и без лишних слов управляет миром. Я понятия не имею о большей ее части. И вообще, многие лучшие идеи являются коммерческими секретами.
Именно поэтому в критических ситуациях нам нужно, чтобы как можно больше людей имели предельно широкие знания математики. Это необходимо не только для нашей собственной пользы. Понятно, что для большинства из нас значительная часть математики, которую нам преподают, практически бесполезна. Но так можно сказать и о любом другом школьном предмете. Я в школе изучал историю, и это определенно позволило мне лучше почувствовать культуру, в которой я живу, но одновременно напичкало меня пропагандой колониализма, которая сегодня кажется все более и более сомнительной. Но я не использую историю в своей работе или в жизни. Мне она интересна (причем с возрастом все больше), и я рад, что существуют историки, которые ее используют. Мне в голову бы не пришло требовать, чтобы историю перестали преподавать в школе. Но математика для нашего сегодняшнего образа жизни имеет принципиальное значение. Более того, очень трудно предсказать, какие ее разделы окажутся полезными для нас завтра. Работавший в моем доме плиточник Спенсер считал число π бесполезным, пока оно не понадобилось ему в работе.
Математика, воспринимаемая надлежащим образом – как насыщенная творческая дисциплина, какой она и является, а не примитивная карикатура, какой ее нередко представляют, – одно из величайших достижений человечества. Не только интеллектуальных, но и практических. Тем не менее мы постоянно прячем ее. Пора вытащить ее на свет, пока реальные аналоги моих фантастических математикоядных не попытались отнять ее у нас.
Да, лиса знает много секретов, а математики – всего один, но очень большой. Он называется математикой, и он преобразует наш мир.
Рекомендуем книги по теме
Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики
Давид Бессис
Формулы на все случаи жизни. Как математика помогает выходить из сложных ситуаций
Крис Уоринг
Математика с дурацкими рисунками: Идеи, которые формируют нашу реальность
Бен Орлин
Все формулы мира
Сергей Попов
Сноски
1
Термин введен британским статистиком Дэвидом Кендаллом. Другое название – «пространство неряшливости» – используется специалистами по автоматическому распознаванию рукописного текста. – Прим. науч. ред.
2
Это математический термин. Свойство алгоритма дележа «свободный от зависти» означает, что каждый из участников дележа может
