Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
энергия Ep, то, так как возвращающая сила F и потенциальная энергия связаны соотношением F = —dEp/dx, в рамках этого общего сценария F = —(d2P/dx2)0x, что соответствует закону Гука, если (d2P/dx2)0 идентифицируется с kf.
46
Энергия гармонического осциллятора, то есть осциллятора, который подчиняется закону Гука, равняется E = p2/2m + (kf/2)x2, где m – его масса. Отметим симметрию: и количество движения p, и смещение x входят в это выражение в квадрате.
47
Структура и ее дифракционная картина по сути являются фурье-преобразованиями друг друга. Подобным же образом фурье-преобразованиями друг друга являются описания мира «через положения» и «через импульсы».
48
При условии, что «там» находятся фотосинтезирующие организмы. (Прим. ред.)
49
Согласно кулоновскому закону обратных квадратов, величина силы между двумя электрическими зарядами Q1 и Q2, находящимися на расстоянии r друг от друга, равна F = Q1Q2/4πε0r2, где ε0 – фундаментальная постоянная, диэлектрическая проницаемость вакуума. Потенциальная энергия этих двух зарядов равна Ep = Q1Q2/4πε0r. Аналогичный закон обратных квадратов выражает величину силы гравитационного притяжения между двумя массами m1 и m2: F = Gm1m2/r2, где G – гравитационная постоянная.
50
Полное обозначение симметрии кулоновского взаимодействия в рамках теории групп записывается как SO(4): специальная ортогональная группа в четырех измерениях.
51
В атоме водорода все атомные орбитали одной оболочки (обозначаемые главным квантовым числом n) имеют одинаковую энергию безотносительно к их угловому моменту вращения вокруг ядра (обозначаемому квантовым числом момента импульса l). Следовательно, все орбитали s, p, d… одной и той же оболочки имеют одинаковую энергию. «Вырожденность», то есть обладание одинаковой энергией, всегда связано с симметрией; в данном случае это является следствием четырехмерной гиперсферичности кулоновского взаимодействия, которое позволяет этим орбиталям, при их различных формах, вращаться друг внутри друга в четырех измерениях.
52
Если исходную волну обозначить ψ(x), то после глобального калибровочного преобразования, однородного сдвига по фазе на угол ϕ, она приобретает вид ψ(х)eiϕ. Плотность вероятности частицы, равная ψ*(x)ψ(x) до преобразования, после преобразования становится равной ψ*(х)e—iϕψ(х)eiϕ = ψ*(x)ψ(x). Эта величина инвариантна; ее инвариантность не нарушается при локальном калибровочном преобразовании ϕ(x), так как все еще ψ*(х)e—iϕ(х)ψ(х)eiϕ(х) = ψ*(x)ψ(x).
53
Вот технический аргумент, связывающий глобальное калибровочное преобразование с сохранением заряда. Я буду, насколько это возможно, сокращать обозначения, так как мне важно показать основное направление аргументации: чтобы выполнить эти преобразования надлежащим образом, вам пришлось бы рассмотреть производные по времени наряду с единственной используемой здесь пространственной производной. Рассмотрим бесконечно малый толчок, такой, что преобразование ψ(х) → eiϕψ(х) можно приблизить выражением ψ(х) → (1 + iϕ) ψ(х) = ψ(х) + δψ(х) при δψ(х) = iϕψ(х). Результирующее изменение плотности лагранжиана L(ψ, ψ') = ½ψ' 2 – ½mψ2, где ψ' = ∂ψ/∂x, равно
Отметим, что согласно уравнению Эйлера – Лагранжа (уравнению, которое показывает вам, как нащупать такой путь, вдоль которого минимизируется результирующее действие),
Следовательно,
Плотность лагранжиана при глобальном калибровочном преобразовании остается неизменной, поэтому δL = 0 для произвольной ϕ. Таким образом,
и текущее значение J сохраняется.
54
Допустим, что волновая функция ψ(x) удовлетворяет уравнению Шредингера
Теперь сдвинем фазу волновой функции к ψ(х)eiϕ(x) = ψ~(х). После фазового сдвига функция больше не удовлетворяет тому же уравнению, так как
Три нежелательных добавочных члена будут устранены, если модифицировать уравнение Шредингера следующим образом:
с
Добавочный член U(x) похож на вклад энергии V(x) и отражает взаимодействие с полем. Таким образом, взаимодействия возникают из локальной калибровочной инвариантности. Отметим, что член, пропорциональный d/dx, фактически пропорционален оператору количества движения p = (ћ/i)d/dx.
55
Соотношение между частотой квантов ν и их энергией: E = hν, и в общепринятых единицах h = 6,626×10–34 Дж∙c. Из этого следует, что энергия (в джоулях), деленная на постоянную Планка, есть частота (измеряемая «в секунду»). Если преобразовать таким образом энергию в 1 джоуль, то получится примерно 2×1033 обратных секунд. Соотношение Планка превращается в E† = ν, и тогда его постоянная исчезает. Если вы настаиваете, вы можете сохранить формулу E† = hν, но тогда вам придется принять h = 1.
56
Уравнение Шредингера для частицы массой m, движущейся в области, где ее потенциальная энергия равна V, а ее полная энергия равна E, имеет вид
57
Если обозначить положение x, а импульс (количество движения) вдоль того же направления p, тогда коммутация положения и импульса будет xp – px. Эта комбинация имеет стандартное обозначение [x, p] – «коммутатор» x и p. В квантовой механике x и p рассматриваются как «операторы» (действия с функциями, например, умножение или дифференцирование). Вся система принципов квантовой механики вытекает из соотношения [x, p] = ih/2π, где i – «мнимая единица»,
, так что можно в каком-то смысле сказать, что квантовая механика покоится на полностью мнимом основании.
58
При x† = x/c и m† = mc2/h импульс приобретает вид p† = cp/h. Коммутатор [x, p] = ih/2π тогда становится равным [x†, p†] = i/2π. Представим себе, что в некоторый момент вы, имея массу 70 кг, находитесь на расстоянии 2 м от некоторой точки и двигаетесь со скоростью 3 м/с. Ваше количество движения (произведение массы на скорость) равно 70 кг × 3 м/с = 210 кг м/с. Произведение вашего положения и количества движения равно 2 м × 210 кг м/с = 420 кг м
Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
