Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
class="sub">2/с. Постоянная Планка в тех же единицах равна 6,6 × 10–34 кг м 2/с – величина неизмеримо меньшая и полностью пренебрежимая. В новой системе единиц 2 м от некоторой точки превращаются в 7 наносекунд, а масса в 70 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, есть фактически количество движения, выраженное в единицах частоты: 9,5 × 1043 Гц. Таким образом, произведение положения и количества движения равно 7 × 1035, что неизмеримо больше 1.
59
Одно из следствий отказа от k заключается в том, что энтропия (вспомним, что Больцман определял ее как S = k logW) приобретает вид S = logW и становится безразмерным числом. Закон совершенного газа pV = NkT превращается в pV = NT†. Если вы настаиваете на сохранении общепринятой формы газового закона и записываете его как pV = NkT†, вам придется принять k = 1. Обычно газовый закон записывают так: pV = nRT, где n – молярная масса вещества (в молях), а R – газовая постоянная. Последняя связана с k через соотношение R = NAk, где NA – число Авогадро. При k = 1, R = NA.
60
Здесь один за другим приведены четыре примера того, как использование ₮ упрощает вид уравнений:
61
Здесь я ввожу ₮ † = h₮ = h/kT.
62
Здесь приведены окончательные формы четырех выражений из примечания 6, где в дополнение к уже введенным параметрам используются величины C† = C/k, V† = V/c 3 и p† = c 3p/h. Первая из них безразмерна, вторая выражается в секундах3, а третья – в 1/секунды4.
63
Постоянная тонкой структуры есть α = µ0ε2χ/2η, где µ0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, величина которой определена как 4π × 10–7Js2C–2m–1. Значение, вычисленное с большей точностью, чем α = 1/137, составляет α = 0,007 297 352 5664. В определении α присутствует некоторая произвольность: у электрического заряда может существовать более фундаментальная мера. Например, заряд кварка равен e, что может оказаться более подходящим значением. В этом случае значение α оказалось бы в девять раз меньше – около 1/1233.
64
Вот одна из таких комбинаций, якобы воспроизводящая значение постоянной тонкой структуры:
α =29 cos(π/137) tg(π/(137×29))/π.
Оно оказывается равным 0,007 297 352 531 86…
65
Я ссылался на закон обратных квадратов в примечании 1 к главе 6: он выражает величину силы притяжения между двумя массами m1 и m2 как F = Gm1m2/r2. Значение гравитационной постоянной G: 6,673 × 10–13 кг–1м 3с–2.
66
Безразмерная форма G выглядит так: αG = 2πGme2/hc. Нет никакой фундаментальной причины для того, чтобы в этом определении участвовала масса электрона, кроме аналогии с e 2, который появляется в α, поэтому, возможно, численное значение αG лишь дает представление о величине силы тяготения.
67
Wigner E. P. (1960). The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, 11 May 1959. Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14 (Русский перевод: Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках / Пер. В. А. Белоконя и В. А. Угарова. УФН, 1968. Т. 94. Вып. 3. С. 535–546).
68
Нижеследующее обсуждение математических оснований реальности основано на идеях, опубликованных в моих книгах Creation (1983) и Creation revisited (1992). Спустя несколько десятилетий Макс Тегмарк, возможно, независимо, выдвинул похожие идеи в своем труде Our mathematical universe (2014). (Русский перевод: Тегмарк М. Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности / Пер. А. Сергеева. Корпус, «Элементы», 2016.).
69
Для знакомства с уравнениями, лежащими в основе описания узоров на шкурах животных, см. Mathematical biology, J. D. Murray (Springer Verlag, 1989), гл. 15. (Русский перевод: Мюррей Д. Математическая биология. В 2 т. / Пер. Л. С. Ванаг, А. Н. Дьяконова (Т. 1), А. Н. Дьяконова, А. В. Дюба, П. В. Шелякина, под науч. ред. Г. Ю. Ризниченко. М.; Ижевск, РХД-ИКИ, 2009–2011.)
70
Аксиомы Пеано (в сокращенной форме):
1 0 – натуральное число.
2 Для любого натурального числа n следующее за ним число тоже является натуральным.
3 Для всех натуральных чисел m и n m = n тогда и только тогда, когда числа, следующие за m и n, равны.
4 Не существует натурального числа, за которым следует 0.
Тогда сложение (+) определяется так, что n + 0 = n и n + S(m) = S(n + m), а умножение (×) так, что n × 0 = 0 и n × S(m) = n + (n × m), где S(n) – число, следующее за n.
71
В своей ранней, но все равно не особенно доступной форме теорема Левенхайма – Скулема утверждает, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то для каждого бесконечного кардинального числа k она имеет модель размера k. Несколько более удобоваримое следствие из теоремы состоит в том, что система правил, таких, например, как правила арифметики, моделирует любую область знания, которая может быть формализована в виде набора аксиом.
72
Более определенно, для всех фермионов (частиц с полуцелым спином, к которым относятся и электроны), при перестановке значков двух идентичных фермионов (перестановке частиц) волновая функция меняет знак: ψ(2,1) = —ψ(1,2). Этот принцип глубоко связан с теорией относительности.
73
Статья в «Википедии» предельно ясна:
«[Гёдель] для любой вычисляемой аксиоматической системы, достаточно мощной, чтобы описать арифметику натуральных чисел (например, аксиомы Пеано или теорию множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора), доказал, что:
Если (логическая или аксиоматическая формальная) система непротиворечива, она не может быть полной. Непротиворечивость системы аксиом не может быть доказана внутри этой системы.
Теоремы Геделя завершили продолжавшуюся полвека серию попыток отыскать систему аксиом,
Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
