Вот как это сделать. На рисунке ниже размещены три синусоиды: элементарная синусоида, волна поменьше с частотой в три раза больше и третью амплитуды и еще более мелкая волна с частотой в пять раз больше и амплитудой в пять раз меньше. Эти три волны можно описать следующими уравнениями: sin x, и.
Я начал суммировать волны, представленные на рисунке. Сначала элементарную синусоиду, sin x. Сумма sin x + являет собой волну, которая похожа на ряд коренных зубов. Сумма sin x + + — это волна, напоминающая нить лампы накаливания. Прибавляя к данной последовательности следующие члены ряда, мы будем все больше приближаться к прямоугольной волне:
В пределе, прибавив бесконечное множество членов ряда, мы получим прямоугольную кривую. Просто поразительно, что кривую столь строгой формы можно построить с использованием исключительно волнообразных колебаний. Любую периодическую волну, состоящую из зубчатых линий, сглаженных кривых или даже их сочетания, можно создать с помощью синусоид.
Сумма синусоид, образующих эту волну, называется рядом Фурье[105] Это чрезвычайно полезная концепция, поскольку она позволяет интерпретировать непрерывную волну в категориях дискретных сигналов. Например, члены ряда для прямоугольной волны могут быть представлены в виде гистограммы, как показано на рисунке ниже.
На горизонтальной оси отложены частоты составляющих синусоид, а на вертикальной — их амплитуды. Каждый столбик представляет синусоиду, причем самый левый — это синусоида, имеющая основную («фундаментальную») частоту. График такого типа обозначается термином «частотный спектр волны», или «преобразование Фурье».
Теорема Фурье стала одним из самых важных математических открытий, сделанных в XIX веке, поскольку позволила моделировать явления из многих областей (от оптики до квантовой механики и от сейсмологии до электротехники) в виде периодических волн. В большинстве случаев лучший способ изучения подобных волн сводится к их разбиению на простые синусоиды. В частности, такая область естествознания, как акустика, целиком и полностью построена на практическом применении открытий Фурье.
Звук — это вибрация молекул воздуха. Они вибрируют в направлении распространения звука, как показано на рисунке ниже на примере кларнета, поочередно образующего области сжатия и разрежения. Изменение давления воздуха в любой точке с течением времени представляет собой периодическую волну.
Как видите, звуковая волна, создаваемая кларнетом, имеет сложную зубчатую форму. Однако, согласно теореме Фурье, ее можно разложить на сумму синусоид, частота которых кратна основной частоте первого члена ряда. Другими словами, волну можно представить в виде спектра частот с разной амплитудой. На рисунке частотный спектр кларнета отображен в виде гистограммы.
Звуковая волна и частотный спектр кларнета
Помните: зубчатая волна и гистограмма представляют один и тот же звук, просто эта информация закодирована разными способами. На графике волны на горизонтальной оси отложено время, тогда как на гистограмме — частота. Инженеры-звукотехники говорят, что звуковая волна находится во временной области, а результат ее преобразования — в частотной.
Частотная область предоставляет нам всю информацию, которая необходима для воссоздания звука кларнета с помощью камертона. Каждый столбик гистограммы обозначает синусоиду, колеблющуюся с определенной частотой. Вспомните об экспериментах Лиссажу с камертонами, о которых шла речь выше. Создаваемая камертоном звуковая волна — это синусоида. Следовательно, для воспроизведения звука кларнета нужно сделать так, чтобы специально подобранные камертоны издавали звук, частота и амплитуда которого описываются соответствующим элементом гистограммы. Точно так же частотный спектр скрипки представляет собой подробную инструкцию по использованию камертонов для воссоздания звука скрипки. Различие между тембром ноты «до» третьей октавы кларнета и скрипки обеспечивается колебанием одной группы камертонов с разными относительными амплитудами. Таким образом, исходя из теоремы Фурье, теоретически возможно сыграть все сочинения Бетховена с помощью камертонов так, что их звучание будет неотличимо от исполнения тех же произведений симфоническим оркестром.
