Фигуры Лиссажу — результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Можно ли суммировать синусоиды, колеблющиеся вдоль одной и той же оси?
Разумеется, можно! И это приводит нас к одной из самых красивых и полезных теорем в математике. Для того чтобы вам было легче воспринимать дальнейший материал, позвольте мне объяснить три концепции, неразрывно связанные с изучением волн: частота, амплитуда и фаза. Частота — это количество колебаний, которые совершает волна за определенный промежуток времени; амплитуда — расстояние по вертикали между вершиной и впадиной волны; фаза — показатель позиции волны по горизонтали.
Вооружившись данными концепциями, мы можем дать математическое описание синусоид, которые представлены на рисунке ниже:
1) — это уже знакомая нам синусоида, описываемая уравнением y = sin x;
2) — если увеличить частоту в два раза (а это значит, что волна повторяется дважды за тот же период, за который исходная волна образуется только один раз), уравнение кривой будет выглядеть так: y = sin 2x;
3) — если удвоить амплитуду (то есть высота волны увеличивается в два раза), уравнение становится следующим: y = 2sin x;
4) — если изменить фазу, сместив волну влево на четверть ее длины, получим косинусоиду, которой соответствует уравнение y = cos x.
Все волны, образованные в результате изменения частоты, амплитуды и фазы синусоиды, тоже являются синусоидами. Частоту, амплитуду и фазу легче себе представить, вспомнив о том, что синусоиду создает перемещение точки по окружности: частота зависит от скорости перемещения точки, амплитуда — от радиуса окружности, а фаза — от исходной позиции точки;
5) — здесь я сложил синусоиду с косинусоидой. Складывая две волны, мы просто суммируем значения по вертикали в каждой точке горизонтальной оси. При этом происходит настоящее волшебство: результат сложения синусоидальной и косинусоидальной волны — это тоже синусоида, хотя и с другой фазой и амплитудой, равной корню из двух. В действительности сложение двух синусоид с одинаковой частотой всегда в результате дает синусоиду, независимо от значений их амплитуды и фазы.
Иными словами, если синусоиду прибавить к любому количеству синусоид с такой же частотой, но другими амплитудой и фазой, полученная кривая останется синусоидой — как фантастический монстр, всегда возвращающийся в свое первоначальное обличье. В ближайшее время мы вернемся к математике точек, перемещающихся по окружности, а пока давайте сделаем небольшое отступление и поговорим о перевороте иного типа — французской революции.
В 1798 году тридцатилетний профессор Политехнической школы в Париже Жозеф Фурье получил от министра внутренних дел срочное сообщение, в котором говорилось, что страна нуждается в его услугах и он «должен быть готов отправиться в путь по первому приказу»[102]. Через два месяца Фурье отплыл из Тулона в составе военной флотилии из 25 000 моряков под командованием генерала Наполеона Бонапарта, необъявленной целью которого было завоевание Египта.
Фурье был одним из 167 выдающихся ученых, входивших в состав египетской экспедиции. Их присутствие отображало идеологию научного прогресса, исповедуемую Великой французской революцией. Кроме того, Наполеон, будучи сам страстным поклонником математики, любил окружать себя людьми, разделявшими его взгляды. Говорят, что, когда французские войска добрались до Великой пирамиды в Гизе, Наполеон сел в тени у ее подножия, быстро что-то записал в своем блокноте и заявил, что в пирамиде достаточно камня для того, чтобы построить стену высотой три метра и толщиной один метр, которая окружила бы всю Францию[103]. Главный математик Наполеона Гаспар Монж подтвердил правильность сделанных генералом расчетов[104].
В Египте Фурье выполнял много разных административных функций, в том числе постоянного секретаря Каирского института — центра культурного наследия, созданного по аналогии с Французским институтом в Париже. В институте было принято решение упорядочить информацию обо всех научных и археологических открытиях; впоследствии собранные материалы вышли в виде 37-томного издания Description de L’Égypte («Описание Египта»), предисловие к которому написал Фурье. По сути, Жозеф Фурье был отцом египтологии.
По возвращении Фурье из Египта Наполеон назначил его префектом расположенного в Альпах департамента Изер со столицей Гренобль. Фурье всегда отличался слабым здоровьем и очень сильной чувствительностью к холоду, поэтому никогда не выходил из дома без пальто даже летом и часто приказывал прислуге носить за ним еще одно пальто про запас. Фурье постоянно поддерживал в комнатах очень высокую температуру. В Гренобле его научные исследования тоже были связаны с теплом. В 1807 году он опубликовал труд под названием On the Propagation of Heat in Solid Bodies («О распространении тепла в твердых телах»), в котором рассказал об одном удивительном открытии, касающемся синусоид.
Знаменитая теорема Фурье гласит: любую периодическую волну можно построить посредством сложения синусоид. На это несколько неожиданное утверждение современники ученого отреагировали с большим недоверием. Многие волны совершенно не похожи на синусоиды — например, прямоугольная волна (см. рисунок ниже), которая напоминает зубцы ограды замка и состоит из прямых линий, тогда как синусоида представляет собой непрерывную кривую. И все же Фурье оказался прав: прямоугольную волну можно построить из одних только синусоид.
