или при этом энергия принимает минимальные значения, или имеет место наилучшее сочетание изменения энергии и времени: самый экономичный путь — «самый простой», как сказал Ферма. Что касается оптики, то энергия светового луча постоянна, поэтому время движения должно быть минимальным. Существенным новшеством в механике Лагранжа-Эйлера стала самая общая трактовка того, что такое «путь». В этой трактовке «путь механической системы» охватывал всю ее эволюцию: положение и скорость объектов, энергию (включающую в себя запасенную (например, напряжение пружины) и кинетическую энергию). Эволюция даже очень сложной механической системы должна подчиняться принципу наименьшего действия.
Затем, уже в XX в., ученые поняли, что новая физика, так называемая квантовая механика, о которой мы поговорим позже, может быть прекрасно описана с помощью принципа наименьшего действия. В квантовом мире все подвержено непрерывным флуктуациям. Положения и скорости квантовых частиц не могут быть определены точно ни в какой момент времени, и в связи с этим не являются подходящими переменными для расчетов. Глобальные величины, такие как различные формы энергии, позволяют давать описание системы, имеющее предсказательную силу, и оказываются проще в использовании.
Если определить правильные значения для всех видов энергии системы, то принцип наименьшего действия позволяет предсказать, как эти энергии будут преобразовываться друг в друга при взаимодействии квантовых частиц. Оказывается возможным определить, как частицы в атоме уравновешивают друг друга, следуя «наилегчайшему пути», как говорил Ферма, или, выражаясь современным языком, «совершая движение по траектории минимального действия во все моменты времени».
Формула, которая обобщает все?
Действительно, принцип наименьшего действия настолько всеобъемлющ, что теперь доминирует в физике элементарных частиц: все фундаментальные квантовые теории, от Стандартной модели (глава 15) до самых экзотических, выражены с его помощью. При построении теории определяются все описываемые ею объекты: частицы, поля, силы и энергии — и собираются в одну большую формулу, называемую «лагранжианом» в честь работ Лагранжа, о которых упоминалось выше (мы познакомимся с некоторыми лагранжианами физики элементарных частиц в конце этой книги). После написания лагранжиана теории ее разработка может считаться законченной. Вы хотите применить теорию к конкретной задаче? Все, что нужно, — это «всего лишь» выразить принцип наименьшего действия математически, затем продраться через зубодробительные формулы, выполняя необходимые вычисления, и… готово, получайте результат! Сейчас начинающие физики впервые знакомятся с принципом наименьшего действия, сформулированным Эйлером и Лагранжем, в его современной форме. Это прекрасное уравнение:
Функция L — это тот самый лагранжиан, ключевая физическая величина, из которой можно вывести все. Величины qi и q.i — это «положения» и «скорости» объектов. Как видите, я не стал включать данное уравнение в число фундаментальных, потому что оно не настоящее «уравнение физики»; формула минимума действия — это процедура или алгоритм, а не видение мира.
Помню, когда еще я был студентом-физиком, мы все были в восторге, когда изучали принцип наименьшего действия, уравнение Эйлера-Лагранжа и его квантовые эквиваленты. Формула выглядела волшебной: записываешь хороший лагранжиан, нажимаешь на рычаг — и вот оно, решение сложного механического движения или задачи взаимодействия разных частиц. Но вскоре пришло разочарование: уравнение Эйлера-Лагранжа ничего не говорит об объектах, не раскрывает энергии или силы их взаимодействия. Только если вы определили свое видение мира и сумели обобщить его в форме Лагранжа, уравнение подскажет, как ваша теория будет применяться в конкретном случае.
Поэтому чуда нет, но процедура «лагранжиан + принцип наименьшего действия» оказала и оказывает сильнейшее влияние на физику. И может быть, не только на физику, но и в обычной жизни? Разве не говорят нам психологи о минимизации действия? Найдите счастье в простой жизни. Эффективно работайте, избегайте бесполезных конфликтов и не становитесь рабами ненужных вещей. Эх, вот бы еще найти этот лагранжиан счастья…
Глава 3
Главный принцип динамики (второй закон Ньютона)
F = ma
Что означает это простое уравнение? Из него следует, что сила равна произведению массы на ускорение. Боюсь, что данное утверждение ни о чем не скажет неподготовленному читателю. Попробуем прояснить этот закон, записав его в эквивалентной форме:
Или же сформулируем его словами: «Сила F, приложенная к объекту массой m, придает ему ускорение a, направленное так же, как и приложенная сила, и численно равное величине силы F, деленной на массу m. В частности, если я удвою прикладываемую силу, ускорение также станет в два раза больше. Если я приложу ту же силу к объекту с удвоенной массой, то такой объект будет ускоряться в два раза медленнее». Ну вот, все оказалось очень просто.
А может, нет? Исторически потребовались столетия, чтобы написать такую простую формулу. Самое трудное состояло не в том, чтобы выписать отношения между переменными в простой формуле:
Что-то эдакое = То «умножить на» Это.
Намного важнее оказалось получить четкие определения основных понятий и концепций механики, чтобы описать движение тел простым соотношением. И эти определения оказались отнюдь не тривиальны…
F = ma
Идеальный, потому что неподвижный (?)
Что определяет движение? Естественным представляется вначале подумать о скорости или об изменении направления движения. Но как можно дать точные определения этим интуитивно понятным терминам?
Еще б0льшей точности в определении требует описание механического воздействия, прикладываемого к объекту. Как можно количественно оценить это воздействие? И что же такое сила?
Можно ли определить силу универсальным образом? Есть ли что-либо общее между моей рукой, которая бросает камень, и пушкой, которая стреляет ядром?
До Галилея и Ньютона движение тела описывали плохо определенным, «неформальным» языком, в котором доминировало влияние Аристотеля. Для Аристотеля неподвижность была синонимом совершенства. Объект, на который никто не действует, неподвижен. Если F = ma, то в отсутствие действующей силы ускорение равно нулю, то есть скорость не изменяется. Иными словами, объект, который движется со скоростью v и на который не действуют силы, продолжает двигаться, не отклоняясь в сторону, с постоянной скоростью.
От фонтанов до планет
Это стало настоящей революцией. Подумайте о планетах: разве они не движутся по замкнутым траекториям, которые периодически возвращают их в те же места на небе? Они могут вращаться вокруг Земли — до Николая Коперника — или вокруг Солнца — после Коперника. В любом случае они не следуют по прямой линии в пространстве, иначе они никогда бы не вернулись и не посетили нас снова. Это лишь означает, что какая-то «сила» действует на планеты. В некотором смысле планеты уже не «идеальны» по Аристотелю, они не свободны от внешнего влияния. Планеты
