о том, что доказательства просты и коротки. Иногда автор по каким-то причинам решает уклониться от доказательства. <…> Все «очевидные» утверждения следует подвергать сомнению и тщательно проверять[76]. Весьма часто ошибки в доказательствах допускаются именно в тех местах, которые казались автору «очевидными». Как заметил Дж. Литлвуд в книге «Математическая смесь», «две пропущенные тривиальности могут в совокупности образовать непреодолимое препятствие». [39, стр. 8]
Слишком много тождеств
Существуют буквально тысячи тождеств, связывающих биномиальные коэффициенты. Таких соотношений настолько много, что вновь открытое тождество радует разве что лишь самого автора. [39, стр. 46]
После прочтения забыть!
Полное аксиоматическое изложение теории действительных чисел, начинающееся с целых чисел, можно найти в книге Э.Ландау «Основы анализа», которая является, пожалуй, единственным во всей математической литературе учебником, где в связном виде и без пробелов обосновываются только действия над числами. В других «объемистых руководствах, где этому посвящены вводные главы, слишком многое оставляется (сознательно или бессознательно) на долю читателя» — утверждает Ландау. И далее он продолжает: «Я надеюсь, что долгие десятилетия подготовки позволили мне составить эту книжку так, что средний студент сможет прочесть ее в два дня. А тогда он может даже (так как с формальными правилами он ведь знаком со школы) забыть все содержание, кроме аксиомы индукции и основной теоремы Дедекинда». [39, стр. 12]
Лагранж о математической индукции
Про доказательства неравенств с помощью математической индукции: угадать «по индукции» вид правой части труднее, чем доказать готовую формулу. Можно подумать, что индуктивная гипотеза возникает при анализе отдельных фактов случайно. «Однако такие случаи встречаются только людям, которые их заслуживают», — утверждал Лагранж. [39, стр. 42]
Мнимые и абсурдные числа
До начала XVIII в. комплексные числа применялись математиками неохотно и неуверенно, поскольку им не могли приписать никакого реального смысла; их называли «мнимыми», «абсурдными» и так далее до тех пор, пока Гаусс (1797) (независимо Вессель (1798) и Арган (1806)) не интерпретировал комплексные числа как точки (векторы) плоскости с соответствующими координатами. [39, стр. 65]
Предел и Евангелие
Цитата из книги: понятие предела является фундаментальным понятием математического анализа. О его значимости не только для математического анализа, но и для других областей математики можно сказать словами из Евангелия от Иоанна: «Все через него начало быть, и без него ничто не начало быть, что начало быть». [39, стр. 79]
Определение производной по Томсону
У.Томсон (лорд Кельвин): «производная — это скорость[77]». [39, стр. 178]
Про функцию Вейерштрасса
То, что Вейерштрасс привел свой пример на позднем этапе развития математического анализа, расценивается как удача, ибо, как заметил в 1905 г. Эмиль Пикар, «если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции не обязательно обязаны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано». [39, стр. 181]
Сложная формула
Формула (uv)' = u'v + uv' потребовала от Лейбница, по его собственному признанию, шесть недель прилежных поисков и размышлений, тогда как современному студенту для полного доказательства этой формулы достаточно нескольких минут[78]. [39, стр. 195]
Джаз и физика
Знаменитый музыкант и певец Луи Армстронг однажды был на гастролях в Дании и там встретился с лауреатом Нобелевской премии Нильсом Бором. Армстронг показал великому физику, как надо играть на трубе, а Бор объяснил ему, каким образом лучше расщеплять атомное ядро.
Впоследствии Армстронг говорил: «Мы прелестно провели время, теперь он разбирается в джазе так же, как я в физике!» [40, стр. 285–286]
Коварный вопрос
На одном из научных заседаний академик-физик Петр Леонидович Капица задал академику-биологу Лысенко (как известно, ярому противнику генетики) коварный вопрос: «Вы утверждаете, что гена наследственности не существует и все зависит от внешнего воздействия, которое и закрепляется как наследственный признак. Однако почему, несмотря на тысячелетия воздействия, женщины родятся девушками, а евреи — необрезанными?!» [40, стр. 347]
Средство от головной боли
Тристану Бернарду однажды сказали, что Паскаль, будучи ребенком, прибегал к геометрии как к лекарству — с головной болью Паскаль боролся, придумывая геометрические задачи. Ответ Бернарда: «Это очень любопытно. Дело в том, что, когда я был ребенком, я боролся с геометрическими задачами, придумывая себе головную боль». [40, стр. 356]
Самый старый эксперимент
Самый старый в истории эксперимент стартовал в 1927 году, когда профессор Квинслендского университета (Австралия) Томас Парнелл решил доказать своим студентам, что каменноугольная смола, которую при желании можно разбить молотком, на самом деле является жидкостью, только очень вязкой. Она плавится при комнатной температуре, но плавится очень и очень медленно.
Чтобы доказать это, профессор расплавил смолу, поместил ее в стеклянную воронку, дал ей остыть (в течение трех лет), поместил воронку над чашей и начал ждать. Профессор оказался прав. Спустя каких-то восемь лет из горлышка воронки упала первая капля. Еще через девять лет упала вторая. А вот до третьей профессор Парнелл уже не дожил, она коснулась чаши в 1954. К тому времени об эксперименте все благополучно забыли, но разбирать конструкцию не стали, просто задвинули ее в самый темный угол и не смотрели на нее.
Об этой истории так бы все и позабыли, но в 1961 году на работу на отделение физики в Квинслендском университете был принят Джон Мейнстоун. Однажды к нему обратился коллега, обнаруживший «нечто странное» — и показал ему воронку. Чашу и смолу под большим стеклянным куполом Мейнстоун попросил главу отделения выставить конструкцию на всеобщее обозрение, чтобы ученые и студенты смогли приобщиться к Высокому, однако не нашел отклика. И только в 1975 году он добился своего.
Восьмая и последняя на текущий момент капля смолы упала 28 ноября 2000 года.
Страшное слово
Льюис Кэрролл, проезжая по России, записал чудное русское слово «защищающихся» («those who protect themselves», как он пометил в дневнике). Английскими буквами. Ни один англичанин или американец это слово произнести не в состоянии, ибо вид этого слова вызывает ужас:
ZASHTSHEESHTSHAYOUSHTSHEEKHSYA.
Опыт с опиумом
Американский физик-экспериментатор Р.Вуд решил однажды проделать на себе опыт — испытать действие наркотика. С большим трудом раздобыв опиум, он накурился этого зелья и вскоре впал в забытье. Придя через некоторое время в сознание, он вспомнил, что, находясь в одурманенном состоянии, напал на какую-то чрезвычайно глубокую и важную научную идею, но на какую именно — начисто вылетело из головы. Тогда Вуд решил повторить опыт в надежде, что ему посчастливится вновь обрести ускользнувшую мысль.
И действительно, как только начало сказываться наркотическое действие опиума, забытая мысль не замедлила возникнуть в уме ученого. Чувствуя, что сознание вот-вот покинет его, Вуд сумел в последний момент сконцентрировать волю,
