class="p1">Закон Гука через модуль Юнга имеет такой вид:
.
Коэффициент жёсткости k при таком написании вычисляется как:
.
Подставив в уравнение максимального коэффициента жёсткости k для максимально допустимого ускорения Aм, получим:
Предположим торможение динамической веревкой, жестко закреплённой одним концом, без учета сопротивления воздуха.
Установим параметры для динамической веревки 10 мм:
E = 200 МПа,
S = 0, 00008 кв м.
Определим, какова должна быть длина этой веревки l при заданном значении максимального тормозящего ускорения Aм=40 м/с². Для остановки падения прыгуна массой m=100 кг со скорости v=20 м/с понадобится такая минимальная длина одинарной динамической верёвки:
Сводная таблица основных параметров линейной системы
Для практического применения, после выбора веревки торможения, удобно представить расчетные данные в общей таблице. Они позволят правильно на конкретном объекте построить систему остановки падения.
Во всех системах канатного доступа для работы на высоте используется принцип дублирования, и прыжки с верёвкой не исключение. Поэтому человек должен быть подсоединён к прыжковой системе двумя верёвками. Штатное торможение осуществляется двумя верёвками. Но в случае выхода из строя одной, торможение будет выполнено с помощью оставшейся другой верёвки. Что обязательно принимать в рассмотрение для построения системы остановки падения.
Таким образом, введём параметры: полная глубина падения и предельная глубина торможения. Полная глубина падения (штатная) получается из суммирования глубины свободного падения и расчётной глубины торможения X2S. Предельная глубина торможения (аварийная) определяется из суммирования глубины свободного падения и расчётной глубины торможения XS для одной верёвки вместо двух.
Выразим в формуле максимального растяжения Xм коэффициент жёсткости k через модуль Юнга:
Одна верёвка вместо двух соответствует уменьшению площади S в два раза. Поэтому подставим в формулу максимального растяжения Xм значения площадей S и 2S:
Из формулы максимальное растяжение для меньшей площади сечения увеличится в соответствии с пропорцией:
.
Возьмем, для примера, двойную динамическую веревку 10 мм. Один конец пары верёвок жёстко закреплён.
E = 200 МПа,
S = 2*0, 00008 = 0,00016 кв м, – двойная.
Масса прыгуна m = 100 кг.
Максимальная сила перегрузки Fм = 3920 H.
Итак, для заданных параметров рассчитаем длину требуемой двойной верёвки торможения l при разных достигнутых скоростях и соответствующих им глубинах завершения свободного падения без учёта сопротивления воздуха в процессе торможения. Далее определим глубины торможения: штатную X2S и аварийную XS. И, наконец, получим предельную расчётную глубину торможения Hпредельная. Полученные данные представим в таблице.
Определение глубины падения для объекта при линейной системе
Чтобы определить, с какой высоты должен быть выполнен прыжок для получения определённой глубины падения, надо сложить желаемую глубину падения с предельной глубиной торможения (на случай обрыва одной из веревок) и умножить эту сумму на технический коэффициент запаса (Kзап = от 1,2 до 1,33):
Пример: для глубины падения Hсвоб = 12,1 метра получаем искомую высоту объекта:
Hобъекта = Hпредельная * Kзап.
Hобъекта = 30,7 * 1,2 = 36,8 метров, и длину двойной верёвки торможения надо использовать не менее 91,8 метров.
Такой расчет выполняют реже, лишь для достижения спортивных целей. Скажем, подобрать объект, чтобы совершить акробатический трюк.
Самой важной задачей представляется другая. Определить на имеющемся объекте максимальную безопасную глубину падения и количество тормозящей верёвки.
Итак, измерив высоту объекта, находим
Hпредельная = Hобъекта / Kзап.
А затем получаем подбором по таблице:
Hсвоб и l двойная.
Пример: для объекта высотой Hобъекта = 38 метров и Kзап = 1,2 имеем:
Hпредельная = 38 / 1,2 = 31,7 метра. По таблице определяем ближайшее меньшее Hпредельная = 30,7 метра, а также для неё глубину падения Hсвоб = 12,1 метра и количество двойной динамической верёвки l двойная = 91,8 метров.
Перпендикулярная амортизация
Расчётные данные для стандартных динамических верёвок показывают значительную длину амортизирующей верёвки, которая обеспечивает безопасную глубину торможения.
Предлагается расположить фрагмент растяжения в перпендикулярном направлении и использовать свойство V-образного разложения сил.
Желаемое свойство состоит в следующем. Нагрузка на плечи V-образного натяжения при угле между плечами более 120 градусов всегда больше силы оттяжки. Таким образом, амортизирующее растяжение располагают по V-плечам, сохраняя направление перемещения соединения, в процессе торможения, перпендикулярно линии крепления плеч.
.
Это позволяет наиболее эффективно получить максимальное поглощение энергии при торможении за счет перемещения центрального узла плеч на начальном этапе амортизации.
Важным геометрическим свойством V-систем является тот факт, что приращению (деформации) длины плеч 2*Δl соответствует более значительное перемещение точки соединения плеч. Длиннее траектория в диапазоне изменения силы при деформации.
Рассмотрим предельный для использования в амортизации угол между плечами V-системы равный 120 градусам. Это наиболее просто увидеть, воспользовавшись тригонометрическими пропорциями в прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов.
Тогда относительное удлинение каждого плеча равно (Δl / l) = 1 / (sin (120⁰/2)) – 1 = 0,155.
Суммарное относительное удлинение V-системы составит: 2 * (Δl / l) = 2*0,155 = 0,31.
А относительное перемещение точки V-плеч равно: cos (120⁰/2) = 0,5.
Таким образом, даже предельное для использования перемещение соединения V-плеч преодолевает расстояние в 0,5 / 0,31 = 1,61 раза больше, чем сама деформация верёвки.
Ниже представлена таблица преимущества перемещения точки соединения V-плеч для непредельных углов перпендикулярной амортизации:
Описание комбинированной системы
В соответствии со свойствами соединения упругих систем, их последовательное соединение увеличивает мягкость системы, а параллельное увеличивает жесткость.
Размещаем последовательно две системы для комбинации их свойств в направлении возрастания мягкости. Первая система представляет собой V-образную амортизацию натянутой верёвкой (одинарной или двойной – по принципу дублирования), закреплённой на противоположных концах. Вторая – это линейная амортизация верёвкой (также, одинарной или двойной), которая закреплена одним концом в середине V-образной, а второй свободный конец подсоединён к прыгуну.
Параметры комбинированной системы
Введём обозначения. Пусть расстояние между закреплёнными точками верёвки
