Поэтому мы должны измерять силы тяготения, происходящие в симметричных телах, достаточно маленьких, чтобы быть легко обработанными в пределах лаборатории, но измерение крошечных сил тяготения, которые вызываются такими телами, может оказаться далеко за пределами существующих у нас возможностей.
Начало решения проблемы было заложено еще во времена Ньютона благодаря работам английского ученого Роберта Гука (1635–1703). Как предварительное объяснение к работе Гука, позвольте мне напомнить вам, что когда силы прикладываются к телу, то в результате воздействия этих сил тело часто изменяет свою форму. Если деревянная доска положена на две опоры и кто-то садится в центре, то доска согнется под грузом. Если резиновый жгут потянуть за оба конца в противоположных направлениях, он растянется. Если сжать в кулаке губку, то она сомнется, а если вращать ее концы в противоположных направлениях, она будет скручиваться. Если нажать справа на один ее конец и слева — на другой, не позволяя ей вращаться, она будет уплотняться.
Все эти типы деформирующих сил могут быть названы «нагрузками». Изменения, которым подвергается тело под воздействием нагрузок, называется «деформация».
Когда в результате воздействия нагрузок объект подвергается деформации, может получиться так, что после того, как мы удалили нагрузку, объект восстанавливает свою первоначальную форму. Деревянная доска распрямляется, после того как вы встаете; резиновый жгут стягивается, после того как отпустили его концы; губка, выпущенная из рук сжимающего, крутящего или уплотняющего ее, прыгает назад. Опять же стальной шар сплющивается после удара о землю, так же как бейсбольный мяч после удара битой или шар для гольфа после удара клюшки. Когда деформирующая сила пропала, все сферы становятся прежними. Эта тенденция возвращаться к первоначальной форме после деформации под нагрузкой называется «эластичность» или упругость.
У любой материи имеется предел упругости — точка, после которой нагрузка на тело произведет его постоянную деформацию. Для материала типа воска эта точка может быть легко достигнута, и даже слабые нагрузки заставят кусок воска постоянно изменять свою форму. (Он скорее пластичен, чем эластичен.) Если приложить слишком большое усилие к неукрепленному центру деревянной доски, она сломается. Резиновый шнур при слишком большом растяжении будет «звенеть» (и лопнет). Стальной шар при слишком большом сжатии сплющится.
Однако, если работать с нагрузками недостаточно большими, чтобы превзойти этот предел, можно, как это сделал Гук, прийти к весьма полезному обобщению, которое может быть кратко выражено следующим образом: «Деформация пропорциональна нагрузке».
Это выражение называется законом Гука. Как можно увидеть из закона Гука, если сила x растягивает пружину на расстояние y, то сила 2x будет растягивать ее на расстояние 2y, а сила x/2 будет растягивать ее на расстояние y/2. Предположим тогда, что величина растяжения, которое произвела некая известная сила, измерено. Тогда любая сила неизвестной величины (в диапазоне предела упругости) может быть измерена величиной деформации, которую произвела эта нагрузка.
Этот принцип может применяться к любому другому виду нагрузок, который производит легко измеряемую деформацию, например к кручению или искривлению эластичного прутка и волокна. Когда, для того чтобы измерить размер неизвестной нагрузки но величине скручивания, используется кручение, установка, на которой производятся измерения, называется «крутильными весами». Если взять чрезвычайно тонкое волокно, которое может быть искривлено даже очень маленькими силами, становится понятно, что даже крошечные силы тяготения могут быть измерены.
В 1798 году английский ученый Генри Кавендиш (1731–1810) использовал для этой цели тонкие крутильные весы.
Его крутильные весы состояли из легкого прута, подвешенного за середину на тонком проводе приблизительно в ярд длиной. На каждом из концов легкого прута находился свинцовый шар диаметром приблизительно в два дюйма. Вообразите себе силу, приложенную к каждому свинцовому шару в противоположных направлениях и под прямым углом к пруту и к тонкому проводу. Чрезвычайно маленьких сил было бы вполне достаточно, чтобы заставить провод скручиваться.
В качестве предварительного шага Кавендиш приложил чрезвычайно маленькие силы, чтобы определить получающееся количество смещения. Затем, тщательно экранируя свой аппарат от воздушных потоков, он принес два больших свинцовых шара, каждый приблизительно восемь дюймов в диаметре, и расположил их почти в контакте с маленькими свинцовыми шарами, но на противоположных сторонах. Сила тяготения между свинцовыми шарами теперь произвела скручивание в волокне, и, зная полный угол скручивания, Кавендиш смог измерить величину силы, возникшей между маленьким и большим свинцовыми шарами. (Оказалось, что она равна примерно 1/2000000ньютона.)
Эксперимент Кавендиша
Теперь предположим, что мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:
G = Fd2/mm’. (Уравнение 4.2)
Зная значение F, измеренного по методике, описанной выше, достаточно просто измерить массу свинцовых шаров (m и m’) и расстояние между их центрами (d). Как только все значения символов на правой стороне уравнения стали известны, вычислить значение G — простая арифметическая задача. (Так как единицы измерения F в системе МКС — кг∙м/с2, единицами d2, m2 и mm’ являются соответственно метры на метры и килограммы на килограммы, то есть кг2; единица измерения G, полученная из уравнения 4.2, равна (кг∙м/с2) м2)/(кг2), или м3/кг∙с2.)
Лучший современный расчет дает нам значение G, равное 0,0000000000667 м3/кг∙с2, конечно же достаточно крошечное значение. Надо отдать должное большому таланту Кавендиша-экспериментатора, потому что в еще в первом своем измерении он получил значение очень близкое к этому.
Предположим, теперь мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:
m’ = Fd2/Gm. (Уравнение 4.3)
И попытаемся еще раз определить массу Земли (m’). Мы уже имеем, в системе МКС, значение для F, равное 0,98, значение d, равное 6 370 000 и значение (m) равное 0,1. Если мы теперь добавим значение G равное 0,0000000000667, то вычислить массу Земли m — простая арифметика. Как вы можете увидеть, т равно (0,98)∙(6 370 000)∙(6 370 000), деленное на (0,0000000000667)∙(0,1), или, примерно, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов.
Физики обычно выражают такие большие числа как степени числа 10. Таким образом, 1 000 000 обычно записывают в виде 106, что выражает произведение шестидесяти. Экспонента (для чисел больше 1) показывает число нулей в исходном числе. Из этого следует, что 6 500 000 равно 6,5∙106. Отрицательные экспоненты выражают числа меньше чем 1, то есть 106 равно 1/106 или 1/1000000, или 0,000001. То есть 0,00000235 равно 2,35∙10–6.
