дополнительной работы и смекалки. Нам на помощь придет вот какое обстоятельство: если мы рассмотрим первый маленький кусочек территории — скажем, тот, который был исследован несколькими соседними всадниками, — то наша карта с фиксированным масштабом будет чрезвычайно точной. Отклонения в масштабе проявятся, только когда мы будем сравнивать между собой отдаленные участки нашей карты.
Из этого следует, что можно учесть изменения в масштабе, разбив территорию на маленькие области. При движении с севера на юг и с запада на восток при переходе от одного фрагмента карты к другому масштаб может меняться, но внутри фрагмента он будет фактически постоянным — причем чем фрагмент меньше, тем с большей точностью это будет выполняться. Теперь вообразим кривую, представляющую собой возможный путь по территории от одной точки на карте к другой (рис. выше). Мы бы хотели узнать реальную физическую длину этого пути, и мы уже знаем, что из-за вариаций масштаба ее невозможно получить, просто умножив длину кривой на масштаб. Однако мы можем разбить путь на маленькие отрезки — будем продвигаться постепенно — шаг за шагом. Теперь нам надо измерить длину каждого отрезка как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении (рис. ниже). По этим отрезкам на карте мы уже сможем определить соответствующие им реальные расстояния, используя почти постоянные масштабы в направлении север-юг и запад-восток. Из этих двух реальных физических расстояний можно получить реальную длину пути, соответствующего этому маленькому сегменту, который представляет собой гипотенузу треугольника[21]. Суммируя длины всех этих сегментов, мы получаем полную реальную длину выбранного пути между двумя точками[22].
Движение по пути бесконечно малыми шагами.
Такой метод можно использовать для вычисления точных расстояний (о чем и мечтал хан), только он гораздо более сложный. (Фактически именно это проделывают современные программы по обработке карт, когда вы запрашиваете расстояние между двумя пунктами при езде на автомобиле.) Мы также видим, что сферическая геометрия земного шара для тех, кто интересуется только ближайшей к себе окрестностью, скрыта от глаз: картина мира вокруг них всегда локально плоская — и масштаб не меняется. Но когда приходится состыковывать эти локальные фрагменты друг с другом, необходимость изменения масштабов обнаруживает геометрию всего нашего мира как целого.
Итак, теперь мы понимаем, как — шаг за шагом — организовать наше путешествие, чтобы узнать, какое реальное расстояние мы проехали. Но если мы, вооруженные этим пониманием, хотим направиться прямиком к хану, то какой путь мы должны избрать? Тот, что выглядит прямым на карте, может выглядеть прямым и на сферической поверхности земли, но — может и не выглядеть.
Если объекты действительно стремятся двигаться по прямой в пространстве-времени, о чем поведали нам работы Эйнштейна и коан «БАШНЯ», то нам нужно знать, какой путь на самом деле является прямым.
6. Космическое «сейчас»
(Сейчас)
Прямо сейчас, когда вы читаете эти строки, где-то в Индии новорожденный ребенок делает свой первый вдох, а старуха — последний. Молодая пара слилась в первом поцелуе. В темном небе сверкнула молния. Порыв ветра растрепал волосы одинокого путника, бредущего по пустыне Сахара.
С космического спутника виден восход Солнца над Землей. Ураган безостановочно раздувает облака над Юпитером. В третьем кольце Сатурна как раз сейчас сталкиваются две каменных глыбы. В нашей Галактике на какой-то планете, вращающейся вокруг звезды, приближается новый год. Возможно, она обитаема и там есть кому праздновать. Наша Галактика приблизилась на 100 миль к своей соседке — Андромеде, — и с этого момента до их столкновения и слияния остается один миллиард лет.
Звезда в далекой галактике взрывается и заканчивает свою стомиллионнолетнюю жизнь — происходит мощнейший взрыв суперновой. В то же мгновение впервые загораются сотни новых звезд.
В наблюдаемой вселенной возникает новое пространство, которого достаточно для образования сотен новых галактик.
Все это во вселенной случается прямо сейчас, в эту самую секунду. Да вот только понятия «прямо сейчас во всей вселенной» не существует.
Действительно ли ребенок в Индии только что сделал свой первый вдох? Возможно. В Индии живет около миллиарда (109) жителей. Если каждый из них доживает до 100 лет, то для того, чтобы население Индии не уменьшалось, ежегодно должно рождаться по крайней мере 10 миллионов (107) детей. В году 365 дней, в каждом по 24 часа, содержащего 60 минут, в каждой из которых по 60 секунд. Всего 30 миллионов секунд. Следовательно, в среднем каждые 3 секунды в Индии рождается ребенок. Ну, а при более аккуратном расчете оказывается, что ребенок рождается каждую секунду, так что вполне вероятно, что за последнюю секунду какой-то ребенок вздохнул в первый раз.
О чем это говорит? Во-первых, о том, что можно получить много полезных — хоть и приблизительных, но достаточно правильных оценок, — лишь использовав несколько цифр, которые мы случайно помним или легко можем найти. Это часто называют оценкой по порядку величины. Искусство выполнения таких расчетов заключается в том, чтобы найти самые важные параметры данной задачи, понять, как они соотносятся друг с другом, и отыскать способ получить правильный по порядку величины результат. В данном случае это означает, что вы можете утверждать: каждую секунду в Индии рождается один ребенок, а не 10 и не один в 10 секунд.
Эти числа показывают также, насколько велик наш мир. Рождение — событие, которое случается в жизни каждого человека только раз, а в мире — в какой-то его части — происходит каждую секунду! Аналогично, смерть звезды при взрыве суперновой случается только однажды в течение жизни небольшой группы звезд, длящейся сотни миллионов лет, а в наблюдаемой вселенной такое где-нибудь да случается много раз в секунду[23]. Это огромное пространство! (И оно становится все больше, увеличиваясь примерно на 1062 кубических метров в секунду.)
Когда мы размышляем над всеми этими событиями, происходящими сейчас, нам интуитивно ясно, что мы имеем в виду, говоря о «сейчас»: некое событие либо происходит сейчас, либо нет, правильно?
А вот и неверно.
Чтобы понять, почему, давайте подумаем, что мы имеем в виду, когда говорим, что «что-то происходит сейчас», и, в частности, откуда мы знаем, что оно происходит сейчас. Когда вы говорите, что падающий лист упал на землю «сейчас», вы имеете в виду, что это событие совпадает с вашим внутренним ощущением текущего момента. Когда вы говорите, что лист упал 10 секунд назад, вы подразумеваете, что ваши внутренние (или ручные) «часы» отсчитали
