ΔT/Δt = 1 − ø/c²,
где ø – разность гравитационных потенциалов. К примеру, потенциал на поверхности Земли, в сравнении с бесконечностью, будет: ø = GM/R, где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная, а R – радиус Земли.
Во многих учебниках эта формула выводится совершенно иначе, из красного смещения света, направленного с верхушки некоего ящика к его основанию. Я предпочитаю тот подход, который только что изложил, потому что в нем явно используется принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности Эйнштейна; в этом подходе видно, что эффект возникает благодаря слагаемому xv/c² в уравнениях Лоренца – тому самому слагаемому, которое приводит и к нарушению одновременности.
Приложение 2
Время и энергия[279]
Самое завораживающее, точное и (для физика) практичное определение энергии оказывается в то же время и самым абстрактным – слишком абстрактным даже для того, чтобы говорить о нем в первые несколько лет обучения университетской физике. Оно основано на наблюдении, что истинные уравнения, такие как E = mc², завтра будут не менее истинными, чем сегодня. Это гипотеза, которую большинство людей принимает на веру как нечто само собой разумеющееся, хотя кое-кто не прекращает ее тестировать. Если вдруг обнаружится какое-то отклонение, это станет одним из самых глубоких и важных открытий в истории науки.
На физическом жаргоне то, что уравнения не меняются, называется инвариантностью во времени (временной инвариантностью, то есть неизменностью). Это не означает, что в физике ничего не меняется; если объект движется, его положение в пространстве изменяется со временем, его скорость изменяется со временем, вообще, множество вещей в физическом мире меняется со временем – но только не уравнения, которые описывают это движение. В следующем году мы вновь будем рассказывать студентам, что E = mc², потому что это по-прежнему будет правдой.
Свойство временной инвариантности кажется тривиальным, но его математическое выражение может привести к поразительному выводу – доказательству того, что энергия сохраняется. Это доказательство обнаружила Эмми Нётер. Как и Эйнштейн, она бежала из нацистской Германии и поселилась в США.
Следуя описанной Нётер процедуре и начав с уравнений физики, мы всегда можем найти такую комбинацию параметров (координата, скорость и т. п.), которая не будет изменяться со временем. Когда мы применяем этот метод в простых случаях (в классической физике с силой, массой и ускорением), величиной, которая не меняется со временем, оказывается сумма кинетической и потенциальной энергии – иными словами, классическая (полная) энергия системы.
Вот это открытие. Мы и так знаем, что энергия сохраняется.
Но теперь получаем интереснейшую философскую связь. Вот и причина, по которой сохраняется энергия: все дело во временной инвариантности!
Есть и еще более значительный результат: такая процедура работает даже тогда, когда мы применяем этот метод к гораздо более сложным уравнениям современной физики. Представьте следующий вопрос: что, собственно, сохраняется в теории относительности? Энергия или энергия плюс энергия, заключенная в массе? Или еще что-нибудь? А как насчет химической энергии? Или потенциальной? Как рассчитать энергию электрического поля? Что по поводу квантовых полей, тех, к примеру, что сдерживают ядро атома? Их тоже включать? Вопрос за вопросом, и ни на один нет интуитивно понятного ответа.
