Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии −12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров.
Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12-метровой длины, проломив при этом какую-то из стен сарая или обе.
Математика парадокса близнецов
Поскольку для Мэри замедление времени составляет γ = 2, мы можем рассчитать, что отношение ее скорости к скорости света равно β = 0,866. В этом примере парадокса близнецов есть несколько важных систем отсчета: СО Джона (мы будем называть ее системой Земли), удаляющаяся система отсчета Мэри (собственная СО Мэри на пути туда, движущаяся со скоростью v = 0,866c) и приближающаяся система отсчета Мэри (ее собственная СО на обратном пути, движущаяся со скоростью v = −0,866c). Наконец, собственная система отсчета Мэри представляет собой комбинацию двух перечисленных, поскольку она какое-то время движется с ускорением и переходит из одной лоренцевой системы в другую[278].
В системе Земли мы можем вычислить расстояние до интересующей нас звезды из того факта, что Мэри летит к ней со скоростью, равной 0,866 скорости света, и весь путь занимает 8 лет; это расстояние равно 0,866 × c × 8 = 6,92c, или 6,92 световых года. В собственных системах отсчета Мэри при удалении от Земли и возвращении к ней расстояние составляет 6,92c, деленное на коэффициент лоренцева сжатия γ, то есть 3,46c. В системе Мэри время, которое занимает у нее путь к звезде, равно расстоянию 3,46c, деленному на скорость 0,866c, и равно 4 годам. Так что и в системе Земли, и в удаляющейся системе Мэри, когда она долетит до звезды, будет 4 года. Точно так же на обратном пути она подрастет еще на четыре года, и по возвращении ей будет 8 лет.
Джон в системе Земли покоится. В этой системе путешествие Мэри занимает 8 лет в одну сторону. Когда Мэри вернется, Джон будет старше нее, ему исполнится 16 лет.
А теперь рассмотрим те же события в системе отсчета, связанной с Мэри. Эта система движется с ускорением, поэтому мы будем проводить вычисления в три этапа. Сначала воспользуемся ее удаляющейся системой, которая движется со скоростью +v относительно систем Земли. Затем она на какое-то время остановится у далекой планеты; ее собственная система станет идентична системе Джона; наконец, она отправится в обратный путь, разгонится, и ее собственная система будет двигаться со скоростью −v относительно системы Земли.
На первом этапе, от Земли до звезды, Мэри в своей собственной системе покоится. Джон движется со скоростью −v и взрослеет со скоростью 1/γ лет. Мэри летит до звезды 4 года (конечно, в этой системе именно звезда движется к ней; сама она покоится). За это время Джон взрослеет всего на 4/γ = 2 года.
Затем Мэри останавливается у звезды (вероятно, на какой-то близлежащей планете, не на самой звезде). Теперь ее собственная система отсчета идентична системе Земли, так что, хотя ей 4 года, Джону (в этой системе) одновременно уже 8 лет. Это первый временной скачок. Дело не в том, что Джон мгновенно взрослеет; дело в том, что Мэри сменила одну лоренцеву систему отсчета на другую, и в новой ее собственной системе события, которые были одновременными в старой, больше не одновременны. Мэри знает, что в удаляющейся системе отсчета (в которой она больше не покоится), Джон по-прежнему младше нее. Но в системе планеты, идентичной земной системе, Джон старше. И Джон, и Мэри согласились бы с этими рассуждениями.
Обратите внимание: «скачок» в одновременном возрасте Джона составил 6 лет (с 2 до 8). Это соответствует уравнению временного прыжка, приведенному выше:
Δt = γ(ΔT − ΔXv/c²).
Здесь Δt – скачок возраста Джона. (Его возраст на Земле идет в соответствии с временем в земной системе отсчета.)
Далее Мэри второй раз меняет собственную систему отсчета: ускоряется для движения обратно к Земле. Подставляем ΔX = −3,46c (расстояние в возвращающейся системе), ΔT = 0 (события одновременны), γ = 2 и v/c = −0,866, получаем:
Δt = 2(0 + 3,46 × 0,866) = 6 (лет).
Это второй скачок возраста Джона, от значения в системе отсчета у звезды к его возрасту в возвращающейся системе; то и другое совпадает по времени с четвертым днем рождения Мэри. Одновременный возраст Джона в ускоряющейся собственной системе отсчета Мэри сменяется с 8 на 14. За время обратного полета Мэри Джон взрослеет еще на 2 года – и когда Мэри наконец возвращается, ему 16 лет.
Таким образом, при вычислении как в системе Джона (не испытывающей ускорений), так и в системе Мэри (испытывающей ускорения), получаем, что когда они вновь встретятся, Джону будет 16 лет, а Мэри лишь 8.
Вообще, не стоит вычислять что бы то ни было в ускоряющихся системах отсчета, если этого можно избежать. Скачки одновременности настолько контринтуитивны, что с ними трудно разбираться. Просто держитесь за любую неускоряющуюся систему отсчета – и можете быть уверены, что в любой другой системе, пойдя в вычислениях по сложному пути, вы получили бы ровно те же результаты.
Математика тахионного убийства
Назовем событием 1 выстрел из тахионного ружья, а событием 2 – смерть жертвы. Δt = t2 − t1 = +10 наносекунд, и Δx = x2 − x1 = 12 метров. Это означает, что тахион движется со скоростью 12/10 = 1,2 метра в наносекунду, то есть примерно 4c. Знак плюс означает, что жертва умирает после того, как я стреляю, поскольку значение времени смерти больше, чем значение времени выстрела.
А теперь рассмотрим эти два события в системе отсчета, движущейся со скоростью v = ½c. Тогда β = 0,5; γ = 1/√(1 − β²) = 1,55. Используем уравнение скачка времени:
ΔT = γ(Δt − Δxv/c²) = γΔt[1 − (Δx/Δt)(v/c²)].
