15. Комплексные циклы. Гипотеза Ходжа
Некоторые области математики вполне можно соотнести с тем, с чем мы встречаемся в повседневной жизни. Уравнение Навье — Стокса невозможно встретить на кухне, но мы все понимаем, что такое жидкости, и представляем, как они текут. Другие области можно соотнести с эзотерическими вопросами переднего края науки: так, чтобы разобраться в квантовой теории поля, нужна хотя бы докторская степень в области математической физики, но аналогии с электричеством и магнетизмом или такие хоть сколько-то представимые образы, как волны вероятности, позволяют кое-что понять. Третьи можно объяснить при помощи картинок, и хороший пример тому — гипотеза Пуанкаре. Но некоторые области математики не поддаются ни одному из перечисленных способов и никак не позволяют сделать сложные абстрактные понятия доступными.
Гипотеза Ходжа, сформулированная в 1950 г. шотландским геометром Уильямом Ходжем, — одна из таких задач. Проблемы здесь возникают не из-за доказательства, поскольку его просто нет. Все дело в утверждении. Вот так примерно эта задача сформулирована на сайте Института Клэя:
«На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов».
На первый взгляд в этой формулировке понятны, пожалуй, только предлоги и такие слова, как «любой». Остальное понятно, как отдельные слова: «многообразие», «класс», «рациональный», «цикл». Но образы, порождаемые этими словами, — виды в живой природе, школа, разум без эмоций, какой-то повторяющийся процесс — явно относятся не к тому, что имел в виду Институт Клэя. Остальное еще более очевидный жаргон. Но не просто жаргон ради жаргона — не сложные слова, за которыми прячется профессиональная лексика. Точнее, это простые слова для обозначения сложных вещей. В обычном языке нет готовых названий для подобных концепций, так что часть приходится заимствовать в других областях, а часть изобретать заново.
Если говорить о хорошем, то здесь у нас появляются немалые возможности. Можно сказать, что гипотеза Ходжа лучше представляет реальную математику XX и XXI вв., чем любая другая из рассмотренных в этой книге тем. Подойдя к ней надлежащим образом, мы сможем получить представление о том, насколько концептуально продвинута на самом деле современная передовая математика. В сравнении со школьной математикой она как Эверест в сравнении с кучкой земли, оставленной кротом.
Но, может быть, это всего лишь пустое сотрясание воздуха, претенциозная чепуха, которой занимаются отшельники в башнях из слоновой кости? Если ни один нормальный человек не в состоянии понять, о чем идет речь, зачем впустую переводить деньги налогоплательщиков на тех, кто думает о подобных вещах? Однако давайте взглянем на это с другой стороны. Предположим, любой человек мог бы понять все, о чем думают математики. Неужели тогда вы с удовольствием отдали бы математикам деньги налогоплательщиков? Разве им платят не за профессиональные знания? Если бы все было настолько просто и понятно, что разобраться в этом мог бы любой, зачем вообще надо было бы готовить математиков? А если бы каждый умел налаживать центральное отопление и сваривать трубы, для чего были бы нужны водопроводчики?
Я не могу сказать вам, как именно могла бы быть с пользой применена гипотеза Ходжа. Но я могу объяснить, насколько важное место она занимает в математике. Современная математика — единый организм, так что значительное продвижение в любой из основных областей со временем принесет вполне материальный доход, измеряемый в долларах и центах. Может быть, сегодня мы не найдем на своей кухне ни одного прибора, сделанного на основе этой гипотезы, но завтра — кто знает? Тесно связанные с ней математические концепции уже доказывают свою полезность в различных областях науки — от квантовой физики и теории струн до робототехники.
Иногда новые математические идеи получают практическое применение почти сразу. Иногда этот процесс занимает не одно столетие. Быть может, в последнем случае лучше было бы подождать, пока возникнет нужда в этих идеях, а затем ударными темпами провести их разработку? Быть может, все математические задачи, не имеющие немедленного и очевидного применения, следует откладывать в дальний ящик на будущее? Однако если бы мы так поступали, то всегда отставали бы от жизни, поскольку математики уже несколько сотен лет играют в догонялки с прикладной наукой. Да и не всегда можно точно сказать, какая идея необходима в данный момент. Как вы думаете, понравилось бы вам, если бы никто даже не задумался о производстве кирпичей, пока вы не пригласили бы рабочих для строительства дома? Чем оригинальнее математическая концепция, тем более маловероятно, что она родится в результате ударной разработки.
