Еще один вопрос, затронутый 25 октября 1946 года в НЗ, имеет даже более древнее происхождение, нежели темы индукции и вероятности: как нам постичь идею бесконечности ?
Над этой проблемой размышляли еще древние греки. В V веке до нашей эры Зенон Элейский сформулировал
несколько остроумных парадоксов, содержащих идею бесконечности. Пространство и время в их обыденном понимании Зенон полагал иллюзорными. На его взгляд, ему удалось доказать, что движение либо невозможно, либо требует бесконечного количества времени.
Согласно одному из парадоксов Зенона, бегун никогда не сможет обежать по стадиону полный круг — сначала он должен пробежать половину расстояния, потом половину оставшейся половины, потом снова половину оставшейся половины и так далее. То есть, чтобы замкнуть окружность, необходимо пройти 1/2 ее длины, затем 1/4, затем 1/8,1/16,1/32,1/64 и так далее. Оставшееся расстояние все больше стремится к нулю, но никогда не достигает его; последовательность бесконечна. Согласно этой логике, незадачливый атлет вообще не тронется с места — ибо, чтобы переместиться с линии старта в какую-то точку, ему придется сначала достичь точки, находящейся на полпути к ней, а для этого сначала нужно достичь точки, находящейся в четверти пути, в одной восьмой, в одной шестнадцатой и так далее. Таким образом, наш бегун логически обречен оставаться на старте.
Самый знаменитый парадокс Зенона — «Ахиллес и черепаха» — тоже связан с бегом. По Зенону, быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху (которой, в силу ее медлительности, при старте дана была фора): пока он добежит до места, с которого рептилия начала движение, она тоже проползет немного вперед, и Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние; но пока он сделает это, черепаха вновь уйдет вперед — и так далее.
Многие парадоксы Зенона обсуждаются и в наши дни. Такой живучести способствовал интерес к ним Аристотеля, который ввел понятия «актуальной» и «потенциальной» бесконечности и доказывал, что смысл имеет только потенциальная бесконечность. Например,
длину беговой дорожки стадиона можно делить на бесконечное множество частей — в том смысле, что, на сколько бы частей она ни была поделена, теоретически всегда можно делить еще и еще, но не в том смысле, что ее действительно, в реальности, можно разделить на бесконечное множество частей; то есть бесконечность этих частей «потенциальна», но не «актуальна».
На протяжении более чем двух тысячелетий это была ортодоксальная дихотомия, в рамках которой помещалась концепция бесконечности. Только с появлением во второй половине XIX века работ немецкого математика Георга Кантора математики нашли способ «приручить» бесконечность, выразить ее в более или менее понятных терминах.
Кантор, обращаясь все к той же аристотелевой дихотомии, доказывал, что существует актуальная бесконечность, а не только потенциальная. По Кантору, два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному. Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3,4, 5,… равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20,…, потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10 и так далее. Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности. В частности, Кантор считал, что ему удалось показать возможность строгого математического подхода к актуальной бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию. Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день. Если, начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится двадцать два, он приступит к описанию следующих двух дней, когда исполнится двадцать четыре — следующих двух дней и так далее. Разумеется, отставание по времени будет все больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период автобиографической деятельности:
20-21 год дни 1-2 22-23 год дни 3-4 24-25 год дни 5-6
Получается, что бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.
В 1946 году вопрос о том, существует ли наряду с «потенциальной» бесконечностью «актуальная», был вполне животрепещущим — и известно, что в аудитории НЗ он тоже прозвучал.
20
Владельцы трущоб и предмет отвращения
Помню, после одного особенно нелепого доклада в Клубе моральных наук Витгенштейн воскликнул: «С этим необходимо покончить! Плохие философы подобны владельцам трущоб, сдающим внаем грязные углы. Я обязан покончить с этим бизнесом».
Морис О'Коннор Друри
В Unended Quest Поппер объясняет свое отношение к кембриджской встрече: «Не скрываю, что отправился в Кембридж в надежде спровоцировать Витгенштейна на заявление, что настоящих философских проблем не существует и сразиться с ним». Этот тезис — настоящих проблем нет, а есть лишь языковые головоломки — был для Поппера из числа тех, которые вызывали у него отвращение.
Конечно, нам не дано узнать всех подробностей философского спора, разгоревшегося в аудитории H3. Но подсказок у нас множество: протокол собрания, рассказ Поппера, свидетельства очевидцев и почтительное письмо, которое Поппер написал Расселу через день после возвращения в Лондон.
Поппер заявил, что в философии существуют подлинные проблемы, а не просто какие-то головоломки. Витгенштейн перебил его и «долго говорил о головоломках и о том, что проблем не существует». Поппер, по его собственным словам, вклинился в этот монолог и выдал заранее заготовленный список философских проблем: бесконечность — потенциальная или актуальная, индукция, причинность. Проблему бесконечности Витгенштейн отверг на том основании, что это сугубо математический вопрос, вне зависимости от того, удовлетворил или не удовлетворил математиков метод Кантора. Индукцию «Витгенштейн отверг, поскольку эта проблема является скорее логической, а не философской».
На каком-то этапе в спор вмешался Рассел, принявший сторону Поппера. Он процитировал английского эмпирика Джона Локка — возможно, в связи с рассуждениями последнего об идентификации личности и о том, что позволяет человеку, его «я» быть тем же, что и тридцать лет спустя. (Ответ Локка на эти вопросы заключался в непрерывности ума и памяти.) Возможно, Рассел упомянул Локка, потому что тот разделял первичные и вторичные качества — например, форму и цвет. (Локк утверждал, что первичные качества существуют в самих вещах, в то время как вторичные зависят от наблюдателя. Квадрат остается квадратом и тогда, когда не является объектом наблюдения; но красный квадрат только потому является красным, что таковым его видит наблюдатель благодаря своему перцептивному аппарату. Вторичные качества, в отличие от первичных, не могут быть поняты без апелляции к сознанию.) Однако, вероятнее всего, цитата из Локка была связана с его утверждением, что врожденного знания не бывает — всякое знание основано на опыте, только опыт придает форму идеям, и только к идеям (или, в терминологии Рассела, чувственным данным) у нас имеется прямой доступ. А если это так, то существует проблема: как мы можем что-то знать наверняка о том, что лежит за пределами нашего ума, — то есть о других умах и о вещах.
