Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
является сдвиг значения экспериментальной проверяемости в науке. В течение долгого времени считалось, что краеугольный камень научного метода – процесс сравнения предсказания с наблюдением и пересмотр теории в свете их несовпадения. Теперь, однако, мы видим, что надежное предсказание возможно не всегда. Так, значит, наш краеугольный камень зашатался? Ничего подобного. «Глобальное» предсказание того, что данная модель проявит хаотическое поведение, может быть проверено тестированием системы при различных начальных условиях, – а хаос, конечно, тоже имеет определенные предсказуемые характеристики, которые можно проверить. Чтобы мы могли заявить, что система нам понятна и ее поведение проверяемо, вовсе не обязательно предсказать и проверить точную траекторию двойного маятника. Законы природы – в данном случае «банда внезаконов» – подверглись бы проверке даже в этом случае количественной непредсказуемости.
Человеческий мозг – вместилище процессов, гораздо более сложных, чем механически тривиальный двойной маятник. А следовательно, нет ничего удивительного в том, что результат его деятельности – действие, мнение, даже произведение искусства – не может быть и, по всей видимости, никогда не будет предсказан на основании «входных данных», таких как взгляд или случайная фраза. Теологи называют эту непредсказуемость «свободной волей». Как и в случае двойного маятника, но на гораздо более сложном уровне, мы могли бы утверждать, что понимаем внутренний механизм работы мозга, искусственного или естественного, как совокупность процессов, происходящих внутри него, хоть нам и не удалось предсказать мнение, которое он выразил, поэму, которую он создал, или расправу, которую он учинил. Следовательно, проявление «свободной воли» будет в некотором смысле подтверждением того, что мы понимаем механизм работы мозга, так же как проявление хаоса, – подтверждением нашего понимания механизма работы двойного маятника. Вероятно, будет слишком смелым надеяться, что так же, как для простых систем можно предсказать закономерности хаоса, в один прекрасный день будут открыты и закономерности проявлений свободной воли. Возможно, психиатрия уже открыла их, но еще не сформулировала в достаточно точной форме.
* * *
Бесстрастная рациональность математики, быть может, и обеспечивает ее непостижимую эффективность. Возможно, эта эффективность вовсе не непостижима: может быть, она восходит к логическим основаниям, этому апофеозу рациональности. Причиной действенности математики может оказаться просто ее упор на систематические процедуры: начни с предложения модели, выпиши несколько уравнений, описывающих свойства последней, а затем выведи следствия, используя испытанные инструменты математической дедукции. Может, это и все. Но возможно ли еще что-нибудь?
Есть некоторые указания на то, что мир может быть математическим в более глубоком смысле. Здесь я отталкиваюсь от замечания, сделанного немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823–1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk («Бог создал целые числа; все прочее – дело рук человека»). Выходит, что все великолепные достижения математики – это манипуляции с начальными сущностями: целыми числами, служащими для простого порядкового счета, создание из них структур, для которых они не были изначально предназначены. Но – если считать щедрость господа бога слишком простым ответом – откуда взялись сами целые числа?
Целые могут появляться абсолютно из ничего. Эта процедура относится к самой бледной и бесцветной области математики, известной как теория множеств – в ней рассматриваются совокупности объектов безотносительно к тому, что эти объекты собой представляют. Если у вас нет ничего, то у вас есть так называемое пустое множество, обозначаемое {Ø}. Я буду называть его 0. Допустим, у вас есть множество, обозначаемое {{Ø}}, в котором содержится пустое множество. Теперь у вас есть что-то, что я буду называть 1. Вероятно, вы уже понимаете, к чему я клоню. У вас может быть еще и множество, в котором содержится не только пустое множество, но и множество, которое содержит пустое множество. Это множество обозначается {{Ø},{{Ø}}}, и, так как в нем два элемента, я буду его называть 2. Теперь вы, вероятно, видите, что 3 – это {{Ø},{{Ø}},{{Ø},{{Ø}}}}, и содержит пустое множество, множество, которое содержит пустое множество, и множество, которое содержит и пустое множество, и множество, которое содержит пустое множество. Я не буду забивать вам голову рассказом о том, что такое 4, не говоря уж о следующих числах, – процедура уже понятна. Таким образом, абсолютно из ничего (из пустого множества) мы сгенерировали семейство целых чисел. А как только вы получили целые числа и, как выразился тот же Кронекер, заставили их прыгать через обручи, вы получили математику.
Аналогия с возникновением Вселенной абсолютно из ничего бросается в глаза, причем Ничто каким-то образом отождествляется с пустым множеством {Ø}. Возможно, это всего лишь заманчивая аналогия, которая не имеет ничего общего с рождением Вселенной из Ничего, в математическом или другом смысле. А может быть, это глубокое прозрение того, как могло появиться все сущее и почему математика оказалась таким удачным языком его описания и объяснения.
Я вижу, что эта аналогия сталкивается с некоторыми проблемами. В их числе – отсутствие правил связи целых чисел со структурами, которые мы называем математическими. Список целых чисел вряд ли имеет право называться Вселенной. Ответ на этот вопрос может лежать в области аксиом, которые предложены в качестве оснований арифметики. Среди них – знаменитые аксиомы, сформулированные итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858–1932)[70]. А как только у вас появилась арифметика, вместе с ней появилось и множество других вещей – благодаря теореме, тоже знаменитой, которую доказали немец Леопольд Левенхайм (1878–1957) и норвежец Туральф Скулем (1887–1963) и из которой вытекает, что любая аксиоматическая система эквивалентна арифметике[71]. Так, например, если у вас есть теория, охватывающая все законы природы и основанная на некотором множестве утверждений (аксиом), то она логически эквивалентна арифметике, и любые утверждения об арифметике будут применимы и к ней. Значит, можно пофантазировать, что логические связи, подобные тем, что предложены в числе аксиом Пеано, встали на пути у сущности, возникшей из ничего и называемой Вселенной, и дали ей стабильность. Я, здесь, конечно, блуждаю в темноте и только пытаюсь нащупать какой-то смысл. Любая реальная интерпретация этого взгляда, если она вообще когда-либо появится, потребует глубокого продвижения в понимании и объяснении наших космических корней, – а пока все это не более, чем игра воображения.
* * *
Большой вопрос, конечно, вот в чем: что мы подразумеваем, говоря, что Вселенная – это математика? К чему я прикасаюсь, если это только арифметика? Что я вижу в окно, если это просто алгебра? Неужели мое сознание – это всего лишь работа целых чисел, пляшущих под музыку аксиом? И правда ли, что причинность подобна разворачиванию доказательства теоремы, – а может, и является им?
Возьмем осязание. Можно ли сказать, что мы
Ознакомительная версия. Доступно 11 страниц из 52
