Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
поскольку они должны состоять из идеально равных единиц. Поэтому, заключал Платон, объекты, изучаемые математиками, существуют, должно быть, в другом мире, неизменном и трансцендентном.
Какой бы ни была соблазнительной платоновская картина математики, она оставляет непроясненным один момент. Как математики выходят на связь с этим трансцендентным царством? Откуда они знают о математических объектах, если эти объекты лежат вне мира пространства и времени? Современные платоники, если задать им этот вопрос, обычно только вяло отмахиваются. Конн упоминает «особое чувство», «не сводимое к зрению, слуху или осязанию», которое позволяет ему воспринимать математическую реальность. Пенроуз заявляет, что человеческое сознание иногда «прорывается» в платоновский мир. Курт Гёдель, один из самых стойких платоников XX века, писал, что «несмотря на недоступность чувственному опыту, мы обладаем некоторой способностью воспринимать» математические объекты, и добавлял: «Не вижу причин, почему мы должны доверять такого рода восприятию, то есть математической интуиции, меньше, нежели чувственному восприятию».
Однако математики, как и все мы, думают мозгом. И трудно представить себе, как физический орган вроде мозга может взаимодействовать с нефизической реальностью. Как заметил философ Хилари Патнэм, «мы не можем представить себе никакого нервного процесса, способного как-то соотноситься с “восприятием математического объекта”».
Чтобы выйти из этого тупика, можно, например, переключиться с Платона на Аристотеля. Пусть в нашем мире и нет совершенных математических сущностей, зато вдоволь несовершенных приближений. Мы можем грубо рисовать мелом на доске круги и линии, можем складывать два яблока и три яблока, и хотя яблоки не идентичны, все равно получится пять яблок. Однако, абстрагировавшись от подобного восприятия заурядных ощущаемых вещей, мы приходим к интуитивному представлению об основных математических понятиях. А остальное – дело логики. Таково аристотелевское представление о математике, и оно вполне согласуется со здравым смыслом. Но есть один воображаемый математический объект, с которым оно справиться не может, и это – бесконечность. У нас нет опыта восприятия бесконечности. Как и восприятия чего-то даже отдаленно на нее похожего. Да, у нас есть ощущение, что считать можно неопределенно долго, поскольку, какое бы большое число мы ни выдумали, всегда можно получить число еще больше, прибавив к нему 1. И, наверное, мы можем вообразить, как бесконечно тянется время или расширяется пространство. Но настоящая, «полная» бесконечность, в противоположность просто «потенциальной» – нет, с таким мы в мире природы никогда не сталкиваемся.
К идее бесконечности с древности относились с подозрением, если не с ужасом. Парадоксы Зенона вроде бы показывали, что если пространство можно бесконечно делить на бесконечно малые фрагменты, движение становится невозможным. Фома Аквинский утверждал, что бесконечно большие числа противоречат сами себе, поскольку числа получаются при счете, поэтому бесконечную коллекцию собрать никогда не получится. Галилей отмечал, что бесконечность нарушает принцип «часть меньше целого». Размышлять о бесконечном оставили богословам, а те отождествили ее с божественным. Паскаль, чья семьдесят вторая «Мысль» – это ода бесконечности в прозе, полагал, что понять бесконечность нельзя, ею можно лишь восхищаться. И даже относительно недавно, в 1831 году, Гаусс объявил, что «пользоваться бесконечным множеством как реальной сущностью… в математике недопустимо».
Однако стало очевидно, что без бесконечности математикам не обойтись. Даже «прикладная» математика – математическая физика, выросшая из дифференциального и интегрального исчисления, которое изобрели Ньютон и Лейбниц, – не лишена фундаментальных недочетов, которые может исправить только строгая теория множеств, в том числе бесконечных. Нужную теорию обеспечил лишь в конце XIX века Георг Кантор, немецкий математик, родившийся в России. Кантор не собирался описывать свойства бесконечности ради них самих, напротив, он утверждал, что эта идея была ему «логически навязана, почти что против моей воли».
На разработку теории бесконечных множеств Кантора вдохновила проблема «дрожащей струны», название которой звучит очень непритязательно. А в результате у него после двух десятков лет интеллектуальных мучений получилось нечто отнюдь не очевидное – последовательность бесконечностей все более высокого порядка, бесконечная их иерархия, восходящая к неведомому пределу, который Кантор назвал Абсолютом. Кантор решил, что видение ниспослано ему свыше, а если он передаст его миру, то станет «посланником Божиим» (по словам его биографа Джозефа Даубена).
Поначалу новую теорию Кантора встретили неоднозначно. Леопольд Кронекер, его бывший учитель, назвал ее «мошенничеством» и «математическим безумием», а Давид Гильберт, напротив, заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор». Бертран Рассел в автобиографии вспоминал, что «ошибочно считал все доводы Кантора заблуждениями», но затем понял, что «заблуждался только я».
В некоторых случаях реакция на теорию Кантора зависела от государственных границ. Французские математики в целом настороженно относились к ее метафизическому флеру. Анри Пуанкаре, который соперничал с немецким математиком Гильбертом за звание величайшего математика своего времени, заметил, что высшие бесконечности «отдают формой без содержания, что претит французскому духу». А русские математики, напротив, приняли свежеоткрытую иерархию бесконечностей с восторгом.
Почему же французы и русские отнеслись к теории Кантора настолько по-разному? Некоторые наблюдатели списали все на французский рационализм в противоположность русскому мистицизму. К такому объяснению склонялся, например, Лорен Грэхем, американский историк науки, в прошлом преподаватель Массачусетского технологического института, и Жан-Мишель Кантор, математик из Математического института де Жюссе, в своей книге «Имя для бесконечности» (Graham, L., Kantor, J.-M., Naming Infinity). И именно русские мистики оказались двигателями математического прогресса, утверждают Грэхэм и Кантор. В интеллектуальной жизни французских математиков, замечают они, господствовали Декарт, для которого ясность и отчетливость были гарантией истинности, и Огюст Конт, который требовал очистить науку от метафизических спекуляций. Представления Кантора о нескончаемой иерархии бесконечностей явно претили бы обоим.
А русских сверхъестественный дух теории Кантора только согревал. Более того, у истоков одной из самых влиятельных математических школ XX века – Московской математической школы середины столетия – стояли русские математики, принадлежавшие к еретической секте имяславцев. Сектанты верили, что если непрестанно повторять имя Божие, можно слиться с божественным. Имяславие возникло еще в IV веке среди палестинских отшельников-христиан, а в новое время его возродил русский монах Иларион. В 1907 году он опубликовал книгу «На горах Кавказа», где описывал, как доходил до религиозного экстаза, нараспев повторяя имена Бога и Иисуса Христа до тех пор, пока дыхание и сердцебиение не входили с ними в резонанс.
В глазах официальной православной церкви имяславцы были еретиками, поскольку приравнивали Бога к Его имени, и царский режим подавил движение (чтобы выдворить сектантов из Афонского монастыря, где было много мятежных монахов-имяславцев, даже отправили военных моряков). Но для математиков, входивших в секту, имяславие, по всей видимости, открывало особый путь к бесконечности и на платоновские небеса, где она обитала. Так что русские смело применяли высшие бесконечности
Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
