неевклидовой геометрии: Coxeter H. S. M. Non-Euclidean Geometry, 5th ed. Toronto: University of Toronto Press, 1965; Greenberg M. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th ed. New York: Freeman, 2007. Статья в Википедии (https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry) также может стать неплохой отправной точкой. А на странице https://brewminate.com/escher-and-coxeter-a-mathematical-conversation/ рассказывается о переписке Маурица Эшера и Гарольда Коксетера.
27
9. Репродукции «Предела круга III» Эшера можно найти на Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Limit_III и в книге Esher M. C. M. C. Esher: 29 Master Prints. New York: Abrams, 1983.
28
8* Гарольд Коксетер (1907–2003) – канадский математик британского происхождения. Считается одним из крупнейших геометров XX века.
29
9* Шон Кэрролл (род. 1966) – американский физик-теоретик и космолог. Специализируется на исследованиях темной энергии и общей теории относительности.
30
10. Carroll S. Something Deeply Hidden: Quantum Worlds and the Emergence of Spacetime. New York: Dutton, 2019. Рус. пер.: Кэрролл Ш. Квантовые миры и возникновение пространства-времени [2021] / пер. О. Сивченко. СПб.: Питер, 2022.
31
11. Некоторые подробности и дополнительные примеры фракталов, созданных с помощью памяти, приведены в разделе 2.5 книги Майкла Фрейма и Амелии Урри «Фрактальные миры» (Frame M., Urry A. Fractal Worlds: Grown, Built, and Imagined. New Haven, CT: Yale University Press, 2016).
32
12. Это доказательство, известное как «Теорема Гёделя о неполноте», было настолько неожиданным, а сама идея, лежащая в его основе, настолько гениальной, что Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн стали часто прогуливаться вместе по территории Института перспективных исследований в Принстоне. Эйнштейн заметил, что стал чаще захаживать в свой кабинет «только ради чести прогуляться до дома с Куртом Гёделем». История их дружбы прекрасно рассказана в книге Джима Холта «Идеи с границы познания: Эйнштейн, Гёдель и философия науки» (Холт Дж. Идеи с границы познания: Эйнштейн, Гёдель и философия науки [2018] / пер. А. Бродоцкой. М.: АСТ, 2019. С. 13); именно из нее я процитировал слова Эйнштейна. Книга Эрнеста Нагеля и Джеймса Ньюмена «Теорема Гёделя» (Нагель Э., Ньюмен Дж. Теорема Гёделя [1958] / пер. Ю. А. Гастева. М.: КРАСАНД, 2009) дает ясное и компактное объяснение Теоремы Гёделя о неполноте. А поразительная книга Дугласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» (Хофштадтер Д. Р. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда [1979] / пер. М. А. Эскиной. Самара: Бахрах-М, 2001) представляет заметно более развернутое и невероятно увлекательное объяснение теоремы Гёделя, где каждая глава предваряется оригинальной притчей об Ахилле, черепахе и их друзьях.
33
13. Доказательство того, что эти три классические задачи греческой геометрии не могут быть решены, пользуется так называемой теорией Галуа: данный раздел математики наглядно представлен в книге Иэна Стюарта «Теория Галуа» (Stewart I. Galois Theory, 2nd ed. London: Chapman and Hall, 1973). С помощью искусных аргументов эти три геометрические задачи превращаются в алгебраические конструкции, а затем показывается, что они невозможны. Как ни удивительно, но некоторые из этих задач могут быть решены в неевклидовой геометрии.
34
14. Последовательность рисунков, объясняющих, как кот превращается в треугольник Серпинского, показана на странице 133. Вы поймете, когда увидите.
35
10* Джон Мьюр (1838–1914) – американский естествоиспытатель, писатель, защитник дикой природы.
36
11* Рейчел Карсон (1907–1964) – американский биолог, деятельница в сфере охраны природы, писательница.
37
12* Эдвард Эбби (1927–1989) – американский писатель, эссеист, активист-эколог.
38
13* Мартин Гарднер (1914–2010) – американский математик-любитель, писатель, популяризатор науки.
39
15. Гарднер М. Есть идея! [1978] / пер. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1982.
40
16. Борхес Х. Л. Лабиринты / пер. В. Кулагиной-Ярцевой, Е. Лысенко, И. Петровского, Б. Дубина, В. Багно. М.: АСТ, 2016. Эта книга, по-моему, лучше всего вводит в мир темпераментной фантазии Борхеса.
41
17. Например, Борхес написал рецензию на книгу Эдварда Казнера и Джеймса Ньюмена «Математика и воображение» (см. пер. Б. Дубина в сборнике: Борхес Х. Л. Зеркало загадок / пер. К. Корконосенко, Б. Дубина, Б. Ковалева, В. Багно. М.: КоЛибри, 2022).
42
18. Рассказ «Вавилонская библиотека» Борхеса и эссе «Аватары черепахи» являются прекрасными образцами парадоксов и головоломок.
43
19. Арифметика бесконечных чисел описана Борхесом на первых страницах его эссе «Учение о циклах» (см. пер. Е. Лысенко в сборнике: Борхес Х. Л. Лабиринты / пер. В. Кулагиной-Ярцевой, Е. Лысенко, И. Петровского, Б. Дубина, В. Багно. М.: АСТ, 2016).
44
20. Интересные вариации Борхес представляет в первом рассказе из сборника «Лабиринты» «Тлён, Укбар, Орбис Терциус».
45
21. Этот круг не настолько очевиден, как в романе Жозе Сарамаго «Перебои в смерти» (Сарамаго Ж. Перебои в смерти [2005] / пер. А. Богдановского. СПб.: Азбука, 2015), но тем не менее это круг. Короткий роман Сарамаго является прекрасным образцом сюжетной геометрии, представляющей собой замкнутый круг. Подробнее мы рассмотрим данный роман в третьей главе.
46
22. Борхес Х. Л. Циклическое время [1941] / пер. И. Петровского // Лабиринты. М.: АСТ, 2016. С. 109–113.
47
14* Здесь и далее цитируется пер. М. Былинкиной.
48
15* Макс Тегмарк (род. 1967) – шведско-американский космолог и астрофизик.
49
23. Насколько велико число 1010118? Число 10118 – это единица и 118 нулей, значит, 1010118 – это единица и 10118 нулей. Так уж ли это много? Количество частиц в наблюдаемой Вселенной равно примерно 1080, то есть 10118 (заметим, это только количество нулей в нашем числе) равно количеству частиц в 1038 копий наблюдаемой Вселенной.
50
24. Немного космологии. См. статью Макса Тегмарка «Параллельные Вселенные» (Tegmark M. Parallel Universes // Scientific American. Vol. 288. May 2003. P. 40–51) и его книгу о математизации космологии (Тегмарк М. Наша математическая Вселенная: В поисках фундаментальной природы реальности [2014] / пер. А. Сергеева. М.: АСТ, 2017). Основные идеи таковы: «Существует внешняя физическая реальность, полностью независимая от нас, людей» и «Наша внешняя физическая реальность является математической структурой». Это очень интересная книга.
51
25. Первые вычисления относительно того, как модель Большого взрыва может
