vcm = (m1 · v1 + m2 · v2)/(m1 + m2).
Поменяв знак v2, чтобы показать, что эта масса начинает двигаться влево, мы получим выражение для скорости корабля, который, следовательно, находится в центре масс — наилучшем месте, чтобы наблюдать симметрию столкновения. Учитывая закон сохранения момента, мы получаем, что столкновение не меняется при изменении скорости центра масс.
Мы можем подробнее рассмотреть, как меняются скорости для наблюдателей, находящихся на корабле и на берегу. Возьмем переменные V1ba (скорость массы m1, какой она кажется с корабля до столкновения), V2ba (скорость массы m2 с корабля до столкновения), V1oa (скорость массы mv какой она кажется с берега до столкновения), v2oa (скорость массы m2 с берега до столкновения) и Vb (скорость корабля). Для Ob до столкновения скорости тел равны:
V1ba = V1oa - Vb = V1 - (m1 · V1 - m2 · V2)/(m1 + m2) = (m2 · (V1 + V2))/(m1 + m2) ,
V2ba = V2oa - Vb = -V2 - (m1 · V1 - m2 · V2)/(m1 + m2) = (m1 · (V1 + V2))/(m1 + m2).
Из этого выражения можно получить один из ключей симметрии в центре масс: в нем оба тела имеют одинаковый момент (m1· V1ba = m2· V2ba). После столкновения направления меняются, то есть:
V1bd = -(m2 · (V1 + V2))/(m1 + m2), V2bd = (m1 · (V1 + V2))/(m1 + m2),
где индекс d теперь заменяет а, обозначая, что это скорости после столкновения. Чтобы получить скорость с берега, достаточно убрать первое изменение:
V1od = V1bd + Vb = -(m2 · (V1 + V2))/(m1 + m2) + (m1 · V1 - m2 · V2)/(m1 + m2) =
- ((m2 - m1) · V1 + 2 · m2 · V2)/(m1 + m2),
V2od = V2bd + Vb = (m1 · (V1 + V2))/(m1 + m2) + (m1 · V1 - m2 · V2)/(m1 + m2) =
- (2 · m1 · V1 + (m1 - m2) · V2)/(m1 + m2)
От внимательного взгляда Гюйгенса не ускользнули две новые симметрии. Хотя при столкновении скорости тел меняются, есть величины, которые остаются неизменными. Прежде всего это масса, а также сумма произведений каждой массы и ее скорости (момента) до и после столкновения. То есть:
m1 · υ1до + m2 · υ2до = m1 · υ1после + m2 · υ2после
p1до + p2до = p1после + p2после.
Эту симметрию можно наблюдать и в других физических ситуациях. Обобщая, мы можем сказать, что она является одним из столпов физики — законом сохранения углового момента. Гюйгенс отметил наличие еще одной величины — суммы произведения каждой массы на квадрат ее скорости до и после столкновения:
m1 · υ1²до + m2 · υ2²до = m1 · υ1²после + m2 · υ2²после
Здесь нетрудно заметить проявление принципа сохранения энергии, в данном случае кинетической.
Надо уточнить, что Гюйгенс работал в доньютоновой теоретической системе. Он ни разу не использовал понятие силы и, следовательно, ни разу не говорил о силе действия и реакции, чтобы объяснить изменение скорости тел. Сегодня упругие столкновения решаются на уровне элементарной физики, при этом само собой разумеющимися считаются принципы сохранения энергии с двумя уравнениями и двумя неизвестными (конечными скоростями). Но Гюйгенсу было труднее, чем нам, ведь в XVII веке законы сохранения энергии уже созревали, но пока не были четко сформулированы. В некотором смысле ученый превратил задачу из динамической в статическую. Сталкивающиеся тела, разумеется, движутся, хотя он наблюдал их с такой симметричной и предсказуемой перспективы, как будто они не выходили из равновесия.
Анализ столкновений Гюйгенса может считаться революционным, потому что он знаменует рождение математической физики. Когда мы представляем себе физика, поглощенного работой, будь то Альберт Эйнштейн или Шелдон Купер, наше воображение рисует нам доску, покрытую формулами. Но так было не всегда. Галилей описывал законы падения тел словами, помогая себе рисунками геометрических фигур, так же делали Архимед и все его предшественники. Даже Джероламо Кардано решал кубическое уравнение в словесной форме, представляя каждый его член как трехмерный куб, который можно изобразить на рисунке. Начиная с сочинения Франсуа Виета алгебра приобрела гибкий и лаконичный язык, который позволял выразить гораздо больше, нежели слова. Почти сразу же Декарт протянул мост между геометрическими рисунками и уравнениями. Вид книг по механике и астрономии радикально изменился: вместо параграфов, набранных мелким шрифтом и прерывавшихся только рисунками прямых, парабол и окружностей, страницы заполнились алгебраическими выражениями, в которых перемежались буквы и знаки операций. Этот научный переворот, состоящий в математической записи и математическом подходе к физике, был совершен именно Гюйгенсом. Почти со стопроцентной уверенностью можно сказать, что вычисления столкновений, которые он записывал на своих больших листах в 1652 году, были первым примером уравнений, в которых переменные означали скорость и массу — иными словами, физические величины. Разумеется, этот переход был постепенным. Сам Гюйгенс, как и Ньютон, предпочитал традиционный метод записи, восходивший к Архимеду.
