Рассматриваемые столкновения являются упругими, то есть удар при них не отнимает энергию движения тел. Гюйгенс отталкивался от единственного уцелевшего от его критики правила Декарта: если две массы сталкиваются на одинаковой скорости, то подпрыгивают, а их скорости направляются в противоположные стороны. Симметрия ситуации приводит к еще одному интуитивному результату. Обозначим массы тел m1 и m2 и примем их скорости за положительные, когда они направлены вправо (→), и за отрицательные, когда они направлены в обратную сторону (←). Меняя направление скорости, m1 переходит от υ к -υ, а m2 — от -υ к υ.
Гюйгенс стал искать симметрию этого элементарного столкновения во всех других, но для этого ему пришлось менять свой угол зрения, как зритель пересаживается в другое кресло в театральном зале, желая лучше видеть симметрию, незаметную другим зрителям, однако тот факт, что он сидит на более удобном месте, не влияет на сам спектакль. Все изменения угла зрения, рассмотренные Гюйгенсом, не влияют на скорость тел.
Рассмотрим два примера. Пусть второе тело m2 находится в покое, а m1 движется по направлению к нему на скорости υ. Каким будет результат столкновения? Масса m1 изменит свое направление и превратится в -υ? Остановится и передаст всю свою скорость m2? Передаст ему только часть импульса, и они вместе покатятся вправо с разными скоростями?
Сначала мы не имеем симметрии, как в предыдущем случае, и лишь гадаем, что произойдет. Затем Гюйгенс рассматривает это столкновение на борту корабля, который движется вправо со скоростью υ/2. Чтобы прояснить ситуацию, он прибегает к помощи двух наблюдателей. Один из них неподвижен (Or) и стоит на берегу канала, а второй находится на корабле (Ob), который плывет в направлении m1 с постоянной скоростью υ/2. Ob движется вместе с кораблем, поэтому для него масса m2 не стоит на месте: она приближается к нему со скоростью υ/2. С другой стороны, так как Ob движется в том же направлении, что и m1, для него эта масса будет двигаться медленнее. Это тот же эффект, что мы замечаем, когда едем в автомобиле. Нам кажется, что неподвижные фонари приближаются к нам со скоростью нашей машины, а машины, которые едут по соседним полосам, едут медленнее, чем когда мы смотрим на них с тротуара. Итак, Ob присутствует при следующем столкновении:
Наша интуиция может подсказать, как произойдет столкновение: скорости каждой массы поменяются на обратные.
С точки наблюдения Ob можно оценить эту симметрию. Чтобы сказать, что наблюдал бы Or, мы должны отделить от двух масс часть движения, вызванного передвижением корабля. Возвращаясь к примеру с автомобилем, если мы остановимся на обочине, машины, которые ехали в нашем направлении, приобретут нашу скорость, а те, что двигались в противоположном, потеряют ее. То есть m2 и m1 приобретут и потеряют υ/2 соответственно. После столкновения Or увидит, что m1 остается в неподвижности, а m2 удаляется вправо со скоростью υ.
Подход, применимый к этому конкретному случаю, легко позволяет предугадать результат любого столкновения между двумя телами, имеющими равную массу, которые движутся с разной скоростью. Что же происходит, когда массы не равны друг другу? Это условие, казалось бы, нарушает симметрию, но Гюйгенс сумел восстановить ее. Для каждой скорости лодки существует скорость, позволяющая нам иметь удобную точку наблюдения, в которой каждое тело меняет свое направление после столкновения. Это
(m1 υ1 - m2 υ2)/(m1 + m2)
В числителе этого выражения скорость умножается на массу и получается физическая величина, которая называется моментом (момент р тела массы m равен р = m · υ). Разделив его опять на массу, получаем скорость. Рассмотрим следующую ситуацию.
Теперь массы отличаются: m2 больше, чем m1. Чтобы лучше описать столкновение, предположим, что υ1 больше υ2 (или еще лучше: m1 · υ1 > m2 · υ2). Если мы присутствуем при столкновении корабля, который движется вправо с постоянной скоростью, то:
(m1 υ1 - m2 υ2)/(m1 + m2)
Мы будем наблюдать следующее:
Поскольку m2 больше, чем m1 для наблюдателя на борту корабля маленькая масса будет двигаться быстрее, чем большая. Из своей смотровой башни Ob заметит, что m1 после столкновения начинает двигаться в обратном направлении, как и m2.
Чтобы понять, что наблюдает Or, стоящий неподвижно на берегу, мы должны прибавить
(m1 υ1 - m2 υ2)/(m1 + m2)
к массе, которая двигается в направлении корабля (m2), и отнять самую большую скорость от массы, которая двигается в обратном направлении, m1 Так мы получим результат, очень далекий от интуитивного:
ДЬЯВОЛ В ДЕТАЛЯХ
На первый взгляд довольно произвольное выражение скорости корабля соответствует так называемому центру масс. Это абстрактное понятие, очень полезное для изучения поведения многих физических систем. Для двух тел m1 и m2, расположенных в х1 и х2, отмечается точка на прямой, соединяющей их. Ее положение хcm определяется как:
xcm = (m1 · x1 + m2 · x2)/(m1 + m2).
Центр масс обозначает точку равновесия, на которую можно поставить доску, уравновешивающую оба тела (см. рисунок). Если массы двигаются, то двигаться будет обычно и точка xcm. Ее скорость будет равна
