2.5.2. Отношение среднего к стандартному отклонению
Хотя описанный в предыдущем разделе метод усреднения и учитывает при выборе оптимальной области ее высоту (значение целевой функции) и гладкость (робастность), но влияние первой величины перевешивает влияние второй. Предлагаемый в этом разделе метод придает робастности гораздо больший вес. В соответствии с данным методом значение целевой функции в каждом узле исходного оптимизационного пространства заменяется отношением среднего значения целевой функции группы узлов к стандартному отклонению, рассчитанному для этой же группы. Понятие «группы узлов» имеет тот же смысл, что и в процедуре усреднения. К группе относится сам узел и один, два, и т. д. рядов окружающих узлов. Такая трансформация поверхности учитывает как высотные отметки оптимальной области (числитель), так и гладкость ее рельефа (знаменатель).
На рис. 2.5.2 показаны две трансформации свертки, изображенной на рис. 2.4.1. Также как и в предыдущем разделе, трансформации строились с использованием одного и двух рядов соседних узлов (m = 1 и m = 2 соответственно). При использовании одного ряда узлов (левый график рис. 2.5.2) возникает большое количество новых оптимальных областей (исходное оптимизационное пространство содержит всего три оптимальные области). Количество новых областей столь велико, что выбор одной из них практически невозможен. Эта проблема разрешается путем использования большей группы узлов (два ряда). В этом случае рельеф трансформированного оптимизационного пространства существенно упрощается (правый график рис. 2.5.2) и мы получаем всего три оптимальные области, из которых необходимо выбрать одну.
В отличие от трансформации методом усреднения (см. предыдущий раздел) ни одна из трех оптимальных областей не совпадает с оптимальными областями оригинального оптимизационного пространства. Это объясняется тем, что оптимальные области исходной свертки представляют собой узкие хребты и высокие пики. То есть эти области не достаточно робастны и обладают довольно ломанным рельефом. В противоположность этому три оптимальные области трансформированного пространства хоть и не расположены на самых высоких хребтах, зато находятся на достаточно гладких и широких плато средней высоты, что может быть предпочтительно с точки зрения их робастности. Поскольку эти три оптимальные области равноценны как по значению целевой функции, так и по робастности, выбрать из них одну можно по площади поверхности и по ее форме. При прочих равных условиях предпочтительно, чтобы оптимальная область имела большую площадь поверхности и более округлую форму (узкие области менее робастны по крайней мере по одному из параметров). Этим критериям соответствует область, расположенная в диапазоне 84–92 дней по параметру «количество дней до экспирации» и 155–175 дней по параметру «период истории для расчета HV».
2.5.3. Геометрия поверхности
Две методики, описанные в предыдущих разделах, основываются на трансформации оптимизационного пространства. Теперь мы опишем альтернативный подход, не требующий трансформации. Он основан на изучении и сравнении геометрии оптимальных областей. В принципе можно разработать множество таких подходов, требующих применения математического аппарата большей или меньшей сложности. Здесь мы предложим один из возможных путей решения этой задачи.
Рассмотрим гипотетическое оптимизационное пространство (рис. 2.5.3), имеющее две оптимальные области. Одна из них (расположенная в левой части пространства) меньше по площади, имеет более вытянутую форму и более высокую вершину. Другая область (расположенная правее) имеет большую площадь, более округлую форму и меньшую высоту. Необходимо принять решение, которая из двух областей предпочтительна для выбора оптимального решения. Предлагаемый нами подход основан на допущении о предпочтительности той области, которая имеет большую площадь поверхности. Такое допущение вполне реалистично, поскольку большая площадь может быть признаком оптимального сочетания двух факторов – более высокого значения целевой функции в точке экстремума и большей робастности потенциального оптимального решения.
Будем считать, что оптимальная область представляет собой конус. Безусловно, такое допущение является упрощением, в реальности области имеют более сложную форму. Тем не менее многие из них действительно напоминают по форме конус. Любую оптимальную область можно привести к конусу путем несложных математических манипуляций. Это позволит вычислить площадь поверхности оптимальной области, не прибегая к сложным методам дифференцирования. Для того чтобы численно выразить площадь путем приведения определенной области оптимизационного пространства к конусу, необходимо выполнить следующие процедуры.
1. Задать уровень целевой функции, определяющий границу оптимальной области. Все узлы, находящиеся выше этого уровня, считаются принадлежащими к оптимальной области и, соответственно, к поверхности конусов. Данный уровень является основанием конуса. На рис. 2.5.3 в качестве такого уровня принят 0,25.
2. Определить площадь основания конуса, выраженную в количестве узлов, расположенных в пределах границы оптимальной области. В примере, представленном на рис. 2.5.3, эта площадь равна количеству ячеек, расположенных в пределах кольца, определяющего уровень 0,25.
3. Зная площадь основания конуса k, можно рассчитать радиус условной окружности, лежащей в основании конуса:
4. Рассчитать площадь боковой поверхности конуса по формуле S = Lπr, где L – это сторона конуса.
Используя теорему Пифагора, можно вычислить сторону конуса по формуле
где h – это высота конуса. Высота конуса нам известна – это значение целевой функции в точке экстремума оптимальной области. Зная длину стороны, можно рассчитать интересующую нас площадь боковой поверхности конуса:
Произведя простые алгебраические преобразования, получим:
