Ознакомительная версия. Доступно 17 страниц из 85
Следует отметить, что в предыдущем примере, когда использовалось только по два критерия, оптимальные множества состояли из пяти – семи элементов (в зависимости от пары критериев). Использование трех критериев привело к расширению множества до 18 элементов. Это является общим свойством метода Парето – увеличение количества решений. Поскольку задача параметрической оптимизации требует выбора единственного оптимального узла, то включение в оптимизационную схему каждой дополнительной функции полезности усложняет решение этой задачи. Поэтому, принимая решение о выборе тех или иных целевых функций, следует принимать во внимание не только объем новой информации, вносимой в общую систему каждой дополнительной функцией, но и учитывать сложность выбора единственного оптимального решения из большого количества вариантов.
Расположение оптимальных областей, полученных по методу свертки, достаточно близко к расположению аналогичных областей, полученных по методу Парето (сравни рис. 2.4.1 и 2.4.2). Это означает, что применение обеих методик в данном случае приводит к одному и тому же результату (при этом следует учитывать, что в других случаях результаты могут быть разными, и тогда придется делать выбор между двумя методами).
Основной результат многокритериальной оптимизации, продемонстрированной в этом разделе, состоит в том, что обе методики позволили определить несколько оптимальных областей. Однако ни одна из них не привела к выбору единственного оптимального решения. Следовательно, можно сказать, что задача оптимизации решена не до конца. Необходимо в пределах выбранных областей продолжить поиск единственного оптимального решения. Этому вопросу посвящен следующий раздел.
2.5. Выбор оптимального решения по признаку робастности
Как было показано в предыдущем разделе, многокритериальная оптимизация имеет один существенный недостаток. В большинстве случаев одновременное использование множества целевых функций приводит к нахождению нескольких оптимальных решений. Хотя ни одно из них не является предпочтительным по отношению к другим, нам необходимо выбрать единственный вариант. Такой выбор можно сделать исходя из формы поверхности оптимальных областей, на которых находятся узлы найденных решений.
При выборе оптимального решения на основе многокритериального анализа принимаются в расчет только значения целевых функций каждого узла оптимизационного пространства. Целевые функции соседних узлов полностью игнорируются. Между тем рельеф оптимальной области является важным показателем надежности оптимизации. При прочих равных условиях предпочтителен такой узел оптимизационного пространства, который располагается в центре относительно гладкой высокой области (высота определяется значением целевой функции). Предпочтительно также, чтобы данная область имела широкие покатые склоны. Это означает, что узлы, окружающие узел оптимального решения, должны быть близкими к нему по значениям целевой функции.
В соответствии с данным ранее определением оптимальное решение, расположенное в пределах такой области, является робастным. Если же оптимальное решение располагается в области, характеризующейся большими перепадами высот, острыми пиками и глубокими впадинами, то оно является менее робастным и, соответственно, менее надежным.
Хотя применительно к процедуре оптимизации понятие робастности не имеет строгого математического определения, в общем виде можно утверждать, что оптимальное решение, расположенное на гладкой поверхности, является более робастным, чем решение, расположенное на изломанной поверхности. Если решение робастно, то небольшие изменения в значениях оптимизируемых параметров не приводят к большим изменениям целевой функции.
Для того чтобы выбор оптимального решения основывался не только на высотной отметке, но и учитывал робастность, необходимо количественно оценить рельеф окружающей области и меру его изломанности. В случае многомерного пространства эта задача очень сложна и требует привлечения методов топологии. Однако для двумерного пространства можно предложить несколько относительно простых в реализации решений.
2.5.1. Усреднение соседних ячеек
Этот метод оценки робастности аналогичен построению скользящих средних. При построении скользящего среднего усреднение целевой функции (обычно это цена или объем торгов) производится по мере движения во времени, а само усреднение используется для описания временной динамики и определения ценовых или каких-либо других трендов. Для изучения рельефа оптимизационной поверхности и оценки робастности оптимального решения, усреднение целевой функции производится по мере движения в оптимизационном пространстве. В каждом узле пространства значение целевой функции заменяется средним значением целевой функции соседних узлов, окружающих данный узел. Таким образом оригинальное оптимизационное пространство трансформируется в новое пространство, которое используется для поиска оптимального решения. Поиск производится по высотным отметкам трансформированного пространства. Новая высотная отметка каждого узла теперь содержит информацию не только о значении целевой функции самого узла, но и о значениях целевой функции небольшой области, окружающей данный узел. Следовательно, в процессе оптимизации производится не только максимизация целевой функции, но учитывается также робастность потенциального оптимального решения.
Единственным параметром усреднения является диапазон усредняемых узлов. Это могут быть только соседние узлы (одна линия узлов, расположенных вокруг данного узла). В случае двумерной оптимизации, каждый узел соседствует с восемью другими узлами (за исключением узлов, расположенных на границах допустимых значений параметров). Поэтому при усреднении одного ряда узлов, среднее значение рассчитывается по девяти данным – восьми значениям соседних узлов плюс значение центрального узла. При усреднении двух рядов расчет проводится по 25 данным, для трех линий – по 49 и т. д. В общем виде количество усредняемых узлов n определяется следующим образом:
n = (2m + 1)²,
где m – число рядов узлов, окружающих вычисляемый узел.
Применим данную процедуру к оптимизационной поверхности, полученной ранее в результате свертки трех целевых функций. Исходное оптимизационное пространство (рис. 2.4.1) содержит три оптимальные области, каждая из которых может рассматриваться в качестве кандидата на поиск оптимального решения. На рис. 2.5.1 показаны две трансформации оригинальной поверхности, построенные для m = 1 (усреднение одного ряда соседних ячеек) и m = 2 (усреднение двух рядов). После трансформации, состоящей в усреднении ближайших узлов (левый график рис. 2.5.1), из трех оптимальных областей осталась только одна, расположенная в диапазоне от 28 до 34 дней по параметру «количество дней до экспирации» и 75–125 дней по параметру «период истории для расчета HV». Причина исчезновения двух других областей заключается в том, что их экстремумы оказались менее робастны, чем экстремум сохранившейся области. Трансформация, полученная путем усреднения большего количества узлов (правый график рис. 2.5.1), приводит к аналогичным результатам – исчезновению двух оптимальных областей и сохранению одной области оптимизационного пространства в качестве оптимальной. Таким образом, обе трансформации указывают на предпочтительность выбора одной и той же области. Данная область, помимо наибольшей робастности, имеет еще и наибольшую площадь. Это является дополнительным преимуществом для выбора оптимального решения в пределах именно этой области.
Ознакомительная версия. Доступно 17 страниц из 85
