Чтобы заставить тело двигаться, во-первых, требуется приложить силу, а эта сила, в соответствии со вторым законом Ньютона, равна массе перемещающегося тела, умноженной на его ускорение: f = та. Тело будет перемещаться на некоторое расстояние, равное d, прежде чем ускорение разгонит его до скорости v, с которой мы и начали разговор. Работа, приложенная к телу, которая требуется, чтобы заставить его двигаться с этой скоростью, равна произведению силы на расстояние.
Если мы выразим силу как ma, то мы получим:
w = mad. (Уравнение 7.2)
Значительно раньше, в этой книге, когда мы обсуждали эксперименты Галилео с падающими телами, мы показали, что v = at, то есть скорость, другими словами, является произведением ускорения на время. Это выражение можно легко преобразовать в t = v/a. Также при обсуждении экспериментов Галилео мы заметили, что там, где имеется однородное ускорение,
d = ½at2,
где d — расстояние, покрытое перемещающимся телом. Если вместо t в указанном выше отношении мы подставим v/a, то получим:
d = ½∙a(v/a)2 = ½∙v2/a. (Уравнение 7.3)
Давайте теперь подставим это значение для d в уравнение 7.2, которое тогда примет форму:
w = ½∙mav2/a = ½∙mv2. (Уравнение 7.4)
Это — работа, которую следует приложить к телу массой m, чтобы заставить его двигаться со скоростью v. И поэтому это — кинетическая энергия, которую содержит тело такой массы, двигающееся с такой скоростью. Если мы обозначим кинетическую энергию как ek, то можем написать:
ek = ½∙mv2. (Уравнение 7.5)
Как я уже сказал ранее, единицы измерения работы включают в себя единицы измерения массы, умноженные на квадрат единиц измерения скорости, и, как видно из уравнения 7.5, кинетическая энергия — тоже. Поэтому кинетическая энергия, как и работа, может быть измерена в джоулях или эргах. И действительно, все формы существования энергии могут быть измерены в этих единицах.
Теперь представим себе, что мы можем обосновать закон сохранения, в котором кинетическая энергия может быть преобразована в работу и наоборот, но в котором сумма кинетической энергии и работы в любой изолированной системе должна остаться постоянной. Но такой закон сохранения не выдержит, как будет показано ниже, никакой критики.
Объект, брошенный в воздух, по мере того как он покидает руку (или катапульту, или некое орудие), приобретает некоторую скорость и поэтому некоторую кинетическую энергию. Поскольку он поднимается вверх, его скорость уменьшается, из-за ускорения, наложенного на него полем тяготения Земли. Значит, и его кинетическая энергия постоянно уменьшается, и в конечном счете, когда объект достигает максимальной высоты и останавливается, его кинетическая энергия полностью исчезает — становится равной нулю. Можно бы было предположить, что кинетическая энергия исчезла из-за того, что в атмосфере была произведена работа и что поэтому кинетическая энергия была переведена в работу. Однако это — неадекватное объяснение события, поскольку то же самое происходило бы и в вакууме. Далее: можно было бы предположить, что кинетическая энергия исчезла полностью и без следа, то есть без появления работы, и что поэтому нет возможности применить какой-либо закон сохранения, включающий в себя работу и энергию. Однако после того как объект достиг максимальной высоты и скорость его движения стала равна нулю, он снова начинает падать, теперь уже вниз, все еще находясь под действием силы тяготения. Он падает все быстрее и быстрее, приобретая все большую кинетическую энергию, и в тот момент, когда он ударяется о землю (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем), он обладает всей той кинетической энергией, с которой начал свое движение.
Чтобы не потерять свой шанс обосновать закон сохранения, мне кажется разумным предположить, что энергия, наверное, не исчезала при движении объекта вверх, а просто запасалась в некоторой другой форме, чем кинетическая энергия. Для того чтобы поднять объект на некоторую высоту, преодолевая силу тяжести, требуется выполнить некоторую работу, даже несмотря на то, что, когда объект достиг этой высоты, он остановился. Эта работа должна быть запасена в виде энергии, которую объект содержит в себе и которая основывается на его положении по отношению к полю тяготения земли.
Таким образом, можно сказать, что по мере подъема объекта кинетическая энергия постепенно преобразовывалась в «энергию положения». На максимальной высоте вся кинетическая энергия стала такой «энергией положения». По мере падения объекта назад, вниз «энергия положения» еще раз преобразовалась — обратно в кинетическую энергию. Так как «энергия положения» имеет потенциальность кинетической энергии, то шотландский инженер Уильям Дж.М. Ранкин (1820–1872) в 1853 году предложил назвать такую энергию «потенциальной», и это предложение было принято.
Чтобы поднять тело на некоторое расстояние (d) вверх, требуется приложить силу, равную его весу, на требуемом расстоянии. Сила, приложенная весом, равна mg, где m — масса тела, a g — ускорение свободного падения (см. уравнение 5.1). Если мы обозначим потенциальную энергию как ep, то получим:
еp = mgd. (Уравнение 7.6)
Если вся кинетическая энергия тела была преобразована в потенциальную энергию, то значит — первоначальная ek конвертировалась в эквивалентную e, или, объединив уравнения 7.5 и 7.6, получим:
½∙mv2 = mgd,
упростив это выражение и приняв предположение, что величина g — постоянна, получаем:
v2 = 2gd = 19,6d. (Уравнение 7.7)
Из этого соотношения можно вычислить (пренебрегая сопротивлением воздуха) высоту, до которой поднимется объект, если нам известна его начальная скорость, то есть та, с которой он двигается вверх. Те же самые соотношения могут быть получены из уравнений, которые явились результатом экспериментов Галилео Галилея с падающими объектами.
Кинетическая энергия и потенциальная энергия — это типы энергии, которые используются механизмами, созданными при помощи рычагов, наклонных плоскостей и колес, а потому эти две формы могут быть объединены одним общим понятием — «механическая энергия». Уже во времена Лейбница было признано, что существует своего рода понятие «сохранения механической энергии» и что (если отбросить такие внешние коэффициенты, как трение и сопротивление воздуха) механическая энергия могла бы быть визуализирована в виде движения вперед и назад между кинетической и потенциальной формами или между ними и работой, но не (и это справедливо для всех трех форм) как нечто, появляющееся из ниоткуда или исчезающее в никуда.
Сохранение энергии
К сожалению, «закон сохранения механической энергии», внешне — такой аккуратный, как это могло бы показаться при некоторых ограниченных обстоятельствах, имеет свои дефекты, и они сразу выбрасывают его из стройного ряда истинных законов сохранения.
