В современном мире, который стремится к предельной специализации, нас удивляет образ мыслей такого человека, как Лейбниц, мастера в любом деле, или, как отмечает «Бри- танника», «одного из самых могучих духом людей в западной цивилизации». Он обо всем жаждал узнать и во все сделать свой вклад, будь то области, в которых он сегодня признан более всего, – философия, физика или математика, или занятия, внешне далекие от интеллектуальной сферы: гидравлические прессы, дренирование шахт при помощи ветряных мельниц, геология или производство льна.
ВАЖНОСТЬ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ
Значение, которое Ньютон и Лейбниц придавали записи расчетов, было очень разным. При разработке метода в 1675-1676 годах Лейбниц ввел свою нотацию (которую мы применяем до сих пор: dx, dy, fdx) и широко использовал ее. Это позволило ему идентифицировать интегрирование и дифференцирование и отметить их обратный характер. Ньютон, наоборот, не уделял нотации внимания до начала 1690-х, когда стал систематически использовать пунктированные переменные (х',у',z') для обозначения флюксии (он никогда не создавал нотации для интегралов). Лейбниц во время полемики настаивал на важности обозначений и на том, что у Ньютона такой системы не было. Ньютон в ответ стал уверять, что разработал свою систему за 15 лет до того, как он в действительности это сделал. Вопрос нотации, однако, имел большую историческую важность; система Лейбница гораздо лучше предложенной Ньютоном. Она не только позволяет более эффективно применять анализ бесконечно малых, но и облегчает обучение. Это достоинство, а также вклад последователей – семьи Бернулли и Эйлера – позволили анализу Лейбница начать триумфальное шествие в XVIII веке. Английские аналитики, со своей стороны, настаивали на том, что следует использовать несовершенную и негибкую нотацию Ньютона. В конце концов английской математике пришлось капитулировать перед прогрессом, достигнутым на континенте. Символично создание в 1812 году Чарльзом Бэббиджем, Джоном Герше- лем (сыном астронома Вильяма Гершеля) и Джорджем Пикоком аналитического общества, одной из целей которого была замена записи Ньютона системой Лейбница. Три партнера сделали реальностью один из своих принципов: «Делать все, что можно, чтобы оставить этот мир лучшим, чем мы его нашли».
Среди попыток Лейбница разбираться во всем и обо всем иметь свое мнение мы находим некоторые центральные идеи, например поиск characteristica universalis, то есть универсального языка, который должен быть точным, как скальпель. Его версия анализа бесконечно малых, такая цельная и наполненная прекрасными обозначениями, была героической поэмой в поиске языка characteristica universalis, который навел бы порядок среди квадратур, касательных, максимальных и минимальных значений, центров тяжести и т. д. Отголоски идеи универсального языка мы находим в записях, сделанных Лейбницем в конце жизни. В них он признает, что его вкладом в разработку анализа бесконечно малых был язык, позволивший оперировать множеством задач, подход к которым раньше был совершенно разным.
Несмотря на то что методы анализа, открытые Ньютоном и Лейбницем, были концептуально разными, спор разгорелся все равно. Его можно было бы избежать, если бы Ньютон опубликовал трактаты об анализе, написанные между 1669 и 1672 годами, поскольку Лейбниц, который разработал свою версию анализа в период между 1672 и 1676 годами, почти с самого своего приезда в Лондон в 1673 году контактировал с английскими учеными. Однако в те годы Ньютон и Лейбниц через третьих лиц всего лишь обменялись несколькими письмами, которые сыграли свою роль в последующей дискуссии.
Хотя Ньютон первым открыл и развил анализ, Лейбницу принадлежит первенство публикации. В первой статье 1684 года Лейбниц не упоминает Ньютона, хотя делает это во второй, в 1686 году. Ньютон ссылается на Лейбница при первой же возможности, то есть во время первого издания в 1687 году «Математических начал натуральной философии». Скорее всего, Ньютон стремился заявить о своих притязаниях на первенство в открытии анализа; но поскольку он до сих пор ничего на эту тему не опубликовал, в отличие от Лейбница, и поскольку, за исключением узкой компании, близкой Ньютону, никто не знал о его переписке с Лейбницем, это упоминание восприняли как признание Ньютоном Лейбница независимым изобретателем анализа бесконечно малых.
Начиная с конца 1691 года, четыре года спустя после появления «Математических начал натуральной философии», среди ученых начали звучать первые обвинения в адрес Лейбница. Так, Фатио де Дюилье писал Гюйгенсу: «При представлении господином Лейбницем своего дифференциального анализа сразу бросается в глаза, что это переделка того, что написал господин Ньютон, и, сравнивая, я не смог избежать ясного ощущения, что разница между ними такая же, как между совершенным оригиналом и кустарной копией». В 1695 году Джон Валлис говорил Ньютону, что в Голландии его метод завоевывает все больше поклонников… но под именем дифференциального анализа Лейбница. Валлис в итоге опубликовал в 1699 году, в одном из томов своих математических работ, сборник писем, которые касались изобретения анализа. Это фактически меняло ситуацию, так как появились документы, которые могли подтвердить, что хотя Лейбниц и опубликовал свои результаты раньше Ньютона, первенство все же принадлежит англичанину, который сообщил об этом – правда, частично и завуалированно – и самому Лейбницу. Летом 1699 года Лейбниц написал: «Валлис попросил моего позволения опубликовать мои старые письма. Так как мне нечего бояться, я ответил, что он может опубликовать все, что посчитает нужным». Очень скоро стало понятно, что Лейбниц серьезно ошибался насчет «мне нечего бояться».
«ПО КОГТЯМ УЗНАЕШЬ ЛЬВА»
Конфликту способствовал известный случай, произошедший в те годы. Речь идет о вызове, брошенном в июне 1696 года Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Задача была о брахистохроне: требовалось найти форму кривой, по которой материальная точка под воздействием исключительно силы тяготения быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. В мае 1697 года Лейбниц взялся опубликовать четыре полученных решения: их авторами были сам Лейбниц, маркиз Лопиталь, Якоб Бернулли и его брат, предложивший задачу, Иоганн Бернулли. Но появился еще один ответ анонимного автора, который был опубликован в январе 1697 году в «Философских трудах»; этим анонимным автором, как известно, был Ньютон. Всего 70 слов, которыми ученый объяснял вполне простое решение, оказалось достаточно для того, чтобы Иоганн Бернулли догадался, кто за ним стоит. Он произнес: «Tanquam ex ungue leonem», что в переводе с латыни значит «По когтям узнаешь льва».
НЬЮТОН НАНОСИТ УДАР
Текст Иоганна Бернулли, в котором он ставит задачу о брахистохроне, начинался словами: «Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира». Это был призыв, перед которым Ньютон не мог устоять, хотя по прошествии времени он произнес по поводу всей этой истории слова, не лишенные шовинизма: «Мне совсем не приятно, что какие-то иностранцы досаждают мне вопросами по математике». Решение Ньютона было следующим: «Пусть из данной точки А проведена прямая APCZ параллельно горизонтали. Пусть на ней будет описана произвольная циклоида AQP, пересекающая прямую АВ в точке Q, и вторая циклоида ADC, основание и высота которой относятся к основанию и высоте первой как AQ к АВ соответственно. Последняя циклоида будет проходить через точку В, и она будет той кривой, по которой вес силой своей тяжести спустится наиболее быстро из точки А в точку В».
