формулы
Приведенное выше решение, которое предложили египтяне, проще, однако два решения эквивалентны. Интересно отметить, что два тысячелетия спустя, когда с той же задачей столкнулся греческий математик Герои Александрийский, его решение больше напоминало вавилонское.
В области измерения углов вавилонские математики решительно уступали своим египетским современникам. Лучший способ сравнить два метода – подсчитать число л в соответствии с каждым из них. В то время как египетский способ был эквивалентен принятию л = 3,16 (почти 3,14), вавилоняне получили результат л = 3. Примеры, приведенные в Ветхом Завете (1 Цар., 7: 23; 2 Пар., 4: 2) соответствуют тому же приближению (л = 3).
Как достижения вавилонян повлияли на другие народы? Их алгебраическая изобретательность по большей части была забыта, но возродилась у Архимеда (III – 2 до н. э.), Герона (I – 2) и наиболее полно у Диофанта (III – 2), затем снова ушла в забвение на много веков. Позже ее возродили люди, говорившие на арабском языке (даже название науки, «алгебра», арабского происхождения). Арабское изобретение не оценили на Западе, за исключением очень немногих людей, и даже арабские цифры редко встречались до XVI–XVII вв. История алгебры озадачивает, поскольку большую часть времени она развивалась подпольно и тайно. И только с началом ее символического этапа началось ее неуклонное и стремительное развитие. Такой окончательный прогресс достаточно легко понять, но достижения математиков, которые пробирались на ощупь в темноте досимволической эпохи, поражают воображение.
Шумеры и их преемники, вавилоняне, оставили нам в наследство три понятия, значимость которых трудно переоценить.
1) Понятие позиции в системе счисления. Оно было несовершенным из-за отсутствия ноля (до эпохи Селевкидов), а также из-за того, что абсолютные значения приводимых чисел часто допускали двоякое толкование. Позже позиционность была забыта и возрождалась постепенно, после введения в обиход индо-арабских цифр.
2) Расширение численного масштаба до дольных и кратных единиц. Оно было утеряно и возродилось лишь после 1585 г. (применительно к десятеричной системе счисления).
3) Применение одного и того же основания для чисел и системы мер и весов. Данная идея также была забыта и возродилась лишь после учреждения метрической системы мер в 1795 г.
Потомки сумели по достоинству оценить три этих великих дара лишь по прошествии нескольких тысячелетий. Как ни странно, еще один дар, далеко не такой драгоценный, – шестидесятеричную систему счисления – приняли с гораздо большей готовностью; ее принятие на много веков задержало принятие и развитие десятеричной системы. Она тяготит нас и сегодня. Конечно, вавилоняне в том не виноваты; традиция, как то часто бывает, прихотлива и неполноценна.
Астрономия
Несмотря на то что их астрономические достижения значительно уступали математическим, древних вавилонян чаще хвалят за первое, чем за второе. Такая ложная оценка возникла из-за двух обстоятельств. Во-первых, произошла путаница между древневавилонской и позднехалдейской астрономией эпохи Селевкидов (основные открытия были сделаны халдейскими звездочетами). Во-вторых, математический гений древних открылся для нас лишь недавно, благодаря усилиям О.Э. Нойгебауэра и Ф. Тюро-Данжена.
Однако вавилоняне построили математический фундамент, без которого не было бы научной астрономии, и положили начало долгим систематическим наблюдениям, без которых были бы невозможны позднейшие обобщения. Они создали искусство астрономических наблюдений. Древний ассирийский царь Тукульти-Нинурта I (1260–1232) применял своеобразный теодолит для воссоздания дворца Ашшура. К тому времени вавилоняне уже были знакомы с простой формой солнечных часов (гномона) и со своеобразной клепсидрой.
Более того, шумеры первыми начали строить кирпичные башни – зиккураты в религиозных целях (рис. 17). Самый первый зиккурат возвели в Ниппуре в честь главного шумерского бога Энлиля. Поскольку тогда невозможно было построить узкую башню, напоминающую средневековую колокольню, зиккураты строили из поставленных друг на друга параллелепипедов или усеченных пирамид (немного похожие на некоторые наши последние небоскребы), жрецы поднимались на них до самой вершины по широкой лестнице или пандусу, идущему по спирали. Со стороны зиккураты напоминали пирамиды, однако они во всех отношениях отличались от египетских пирамид. Это изобретение увековечено руинами зиккуратов, а также легендой о Вавилонской башне (Быт., 11: 1–9). Поскольку башня возвышалась над равнинами Месопотамии, жрец, приносивший жертву на ее вершине, при желании мог беспрепятственно обозревать оттуда все небо. Некоторые из них так и поступали и накопили ценные наблюдения, но основные астрономические труды начались гораздо позже.
Рис. 17. Теоретическая реконструкция зиккурата в Уре
Так же медленно, как и собственно астрономия, развивалась астрология. Прорицания, к которым питали пристрастие древние вавилоняне, происходили от гаданий по внутренностям и другим земным знакам, а не от наблюдений за звездами. Замысловатая астрология, столь глубоко повлиявшая на Древний Рим и средневековый мир, во многом была халдейским (то есть более поздним) творением.
Такая сложная цивилизация, как шумерская, требовала изобретения календаря. Выше уже шла речь о вавилонском годе, состоявшем из 360 дней, и о nychthemeron, поделенном на 360 равных частей; это было очень точное математическое представление. Однако вавилонский календарь изначально был лунным. Вавилоняне считали, что месяцы состоят из 29 и 30 дней, и они довольно регулярно чередовались. Строгое чередование месяцев, состоящих из 29 и 30 дней, привело бы к расхождениям между прежним календарем и наблюдениями за первой фазой Луны; поэтому необходимо было иногда нарушать чередование. Средняя продолжительность 12 лунных месяцев (354 дня) слишком коротка для солнечного года, а продолжительность в 13 месяцев (384 дня) слишком длинна. Чтобы синхронизировать лунный и солнечный циклы, вавилоняне делили год на 12 месяцев, но при необходимости добавляли тринадцатый. Должно быть, они начали так поступать очень рано, ибо в эпоху III династии Ура (2294–2187) уже признавали, что «вставка» повторялась раз в восемь лет. В одном из посланий Хаммурапи всем своим губернаторам он приказывает вставлять такой месяц. Вавилонский календарь служил образцом для еврейских календарей, а также для греческих и римских до введения юлианского календаря (45 г. до н. э.). Помимо того, вавилонский календарь и поныне влияет на церковный календарь.
С другой стороны, открытие, которое часто приписывают вавилонянам, безусловно относится к более позднему времени; я имею в виду неделю. Конечно, лунный месяц предполагает подразделение на более краткие периоды, размеченные фазами Луны. Вавилоняне придавали особое значение седьмому, четырнадцатому, двадцать первому и двадцать восьмому дням месяца; в эти дни по указу правителя запрещалось делать те или иные вещи. Таким образом, вавилоняне делили месяц на семидневные отрезки, но вавилонские недели не были постоянными, как наши, и первый день каждого месяца считался первым днем недели. Введение нашей семидневной постоянной недели (недели следуют одна за другой независимо от месяца и года) и астральных имен, данных
