= 12 960 0 00. Но это – совершенное геометрическое число Платона, а 12 960 000 дней составляют 36 000 лет по 360 дней, «Великий год» по Платону (продолжительность вавилонского цикла). Жизнь человека продолжительностью в 100 лет содержит 36 000 дней, столько же, сколько лет в «Великом году». Можно сделать вывод, что «геометрическое число», то есть число, измеряющее или управляющее Землей и жизнью на Земле, явно вавилонского происхождения.
Шумеры не только использовали позиционную систему счисления (правда, без 0) и распространили ее на кратные и дольные единицы основания. Их система счисления была тесно связана с вычислением мер и весов. То есть еще до 2000 г. до н. э. они изобрели полную шестидесятеричную систему. Для того чтобы в полной мере оценить их гениальность, достаточно вспомнить, что лишь в 1585 г. фламандец С. Стевин задумал переход от шестидесятеричной системы к десятеричной, а внедрение десятеричной системы началось лишь во время Великой французской революции и не доведено до конца и в наши дни. Древние шумеры были последовательнее многих наших современников, упорно отстаивающих английскую систему мер. Осознав это, уже невозможно считать шумеров примитивными, а наших современников – поистине цивилизованными людьми.
Чем можно объяснить шестидесятеричную систему счисления и передовую математику шумеров? Если ответ на вопрос вообще существует, можно предположить, что шумерская метрология и шумерская система счисления так хорошо сочетаются, потому что развивались вместе. Трудно поверить, что шумеры выбрали бы основание 60 из чисто математических соображений. Проще заключить, что шестидесятеричную систему подсказали им метрологические наблюдения. В самом деле, проводя измерения, то и дело наталкиваешься на невозможность подсчетов из-за выбранного стандарта. Поневоле приходится вводить дроби. Поэтому удобнее взять за стандарт (длины, веса и количества) число, включающее в себя как можно больше множителей. Естественная связь между дробями и метрологией демонстрирует римская система; римские асе или либра, поделенные на двенадцать унций, подразумевали самые распространенные римские дроби. Система отличалась большой точностью. Единственную трудность составлял асе, представлявший двенадцатеричную систему. В силу своей природной гениальности шумеры не допустили такой ошибки. Они применяли шестидесятеричные дроби и шестидесятеричную систему мер и весов вместе с шестидесятеричной системой счисления.
Как ни странно, с течением времени шестидесятеричная система счисления лишь укрепила свои позиции благодаря распространению еще одной единицы, в шесть раз большей. Вначале древние шумеры (как и древние египтяне) считали, что в году 360 дней. Они начали с деления дней на шесть страж (три дневные стражи и три ночные; естественно, они отличались разной продолжительностью). Вскоре шумеры поняли непрактичность неодинаковых временных интервалов для астрономии. Они поделили весь день (день и ночь, nychtemeron) на 12 равных часов по 30 геш каждый. Таким образом, каждый геш равен 4 нашим минутам. То есть их астрономический день был разделен на 360 равных частей. В году насчитывалось 360 дней, а в дне – 360 геш; такое же деление на 360 частей позже применили к параллелям, а еще позже (в эпоху Ахеменидов, ок. 558–330 гг.) к эклиптике (зодиакальным созвездиям). Мы по сей день делим круг на 360 градусов, на основе шестидесятеричной системы, вслед за шумерскими математиками, которые жили больше чем за два тысячелетия до нашей эры.
Читатель уже заметил, что у вавилонской математики имеются три сливающихся источника – арифметика, система мер и весов и астрономия. К последней мы скоро вернемся. Система мер и весов – дочь торговли; процесс купли-продажи подразумевает существование цен за единицу продукции, а также измерение и взвешивание. Многочисленные таблички представляют собой деловые документы, математическая структура которых подчас очень поучительна. На Луврской табличке (АО 6770, примерно 2000 г. до н. э.) записана задача: необходимо вычислить, сколько уйдет времени на то, чтобы некая сумма денег удвоилась при сложных процентах (20 %). Мы бы решили эту задачу в виде уравнения типа (1 + 0; 12)* = 2. Верный ответ: x = 3; 48 (3 и 4/5 года); к такому же результату пришел и шумерский математик! Если ему, таким образом, удалось решить степенное уравнение, не стоит удивляться, узнав, что он был способен решать и другие уравнения. Шумерские математики, безусловно, умели решать линейные уравнения, системы линейных уравнений со многими неизвестными, а также уравнения второй и третьей степени. Судя по всему, при решении квадратных уравнений они пользовались формулой, сравнимой с той, какой мы пользуемся сейчас. О.Э. Нойгебауэр предположил, что даже некоторые уравнения третьей степени сводились к нормальному виду и что таблица давала значения n2 + n3. Возможно, он забежал вперед. Судя по дошедшим до нас примерам, мы можем лишь заключить, что шумерские математики умели решать некоторые кубические уравнения. Но даже если они всего лишь привычно решали квадратные уравнения, а также системы из двух квадратов с двумя неизвестными, у нас уже есть достаточно оснований ими восхищаться. Несмотря на то что у древних шумеров не было ни уравнений, ни каких-либо символов (даже символа для неизвестной величины), благодаря своей алгебраической изобретательности они задействовали много знакомых нам процессов, например сокращение одинаковых величин, устранение одного неизвестного с помощью замены, введение дополнительного неизвестного. Более того, несмотря на полное отсутствие алгебраической символики, древние шумеры знали тождество, которое мы выражаем в виде (а + b)2 = а2 + 2аb + b2. Кроме того, они располагали алгебраическими средствами для нахождения последовательного приближения квадратного корня из числа. Такие достижения можно назвать почти сверхъестественными. Могу предложить лишь одно (весьма неполное) объяснение: абстрактные расчеты и таблицы сообщали шумерским математикам своего рода алгебраическую окраску и мотивацию.
Наконец, ясно, что шумеры не боялись иметь дело с отрицательными числами; кому-то это покажется мелочью, однако понятие отрицательности проникло в мир Запада только после Леонардо Пизанского (Фибоначчи), а на разработку идеи ушло еще несколько столетий.
Нет необходимости продолжать перечисление; алгебраические достижения шумеров 4000 лет назад более чем достаточны для того, чтобы поразить воображение нынешних молодых математиков. И хотя средний филолог, скорее всего, считает, что до греков подлинной математики не было, он едва ли в состоянии понять шумерскую математику! Нам вполне ясно, что древние шумеры обладали не меньшим природным талантом к алгебре, чем греки – к геометрии.
Вавилоняне, жившие в 2200–2000 гг. до н. э., умели измерять площади прямоугольников, а также правильных и равнобедренных треугольников; они, возможно, знали теорему Пифагора и знали, что угол в полукруге – прямой угол; они умели измерять объем прямоугольного параллелепипеда, правильного круглого цилиндра, усеченного конуса и пирамиды. Их решение последней задачи (вычисление объема пирамиды) немного отличалось от решения, предложенного египтянами. Его можно представить в виде
