телу, при которой оно не упадет на Землю и даже не станет ее спутником, а навсегда покинет нашу планету, отправившись в межпланетное путешествие. Возможно ли это?
Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, утверждает, что тела[1] с массами M и m притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональный квадрату расстояния (r) между ними. Иначе говоря:
где f — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяготения.
Из закона тяготения вытекает важное следствие. Допустим, что тело с массой m находится на поверхности планеты, масса которой М, а радиус равен R. Тогда, как можно доказать методами высшей математики, работа, которую надо совершить, чтобы удалить тело с поверхности планеты в бесконечность, равна
.
Вернемся снова к задаче Ньютона. Чтобы снаряд, выброшенный из ньютоновой пушки, смог улететь в бесконечность, необходимо сообщить ему такую кинетическую энергию, которая бы равнялась указанной выше работе.
Следовательно, если масса снаряда m, а скорость его вылета υ, то
, откуда
.
В первом приближении, вес снаряда, находящегося на Земле, есть сила его притяжения к Земле, т. е.
или
.
Сравнивая две полученные формулы, приходим к заключению, что искомая скорость (без учета сопротивления воздуха) может быть найдена по формуле
. Учитывая, что g=9,8
, а радиус Земли R=6370 км, получаем υ=11,2
.
Оказывается, отправиться в путешествие по вселенной дело непростое — для этого нужно приобрести начальную скорость не менее 40 000
! Такова та «скорость отрыва», к достижению которой стремится современная техника.
Разумеется, во времена Ньютона, когда транспортные средства сообщения ограничивались кабриолетами и дилижансами, огромные скорости казались возможными лишь в мире небесных тел. С такой чисто астрономической точки зрения и рассматривал Ньютон решение своей знаменитой задачи.
Ему удалось не только найти скорость отрыва от Земли, но и вычислить, по какой же кривой в этом случае полетит брошенное тело. Мы не будем приводить вычислений Ньютона, потому что нахождение всех возможных траекторий брошенного тела в задаче Ньютона требует применения высшей математики. Ограничимся лишь тем, что укажем конечные результаты.
Оказывается, снаряд, покинувший ствол ньютоновой пушки в горизонтальном направлении со скоростью 11,2
, начнет двигаться по параболе. Как известно, парабола в отличие от окружности представляет собой разомкнутую кривую, обе ветви которой, постепенно удаляясь друг от друга, уходят в бесконечность. Вершина параболы в задаче Ньютона совпадает с воображаемой пушкой и выброшенный ею снаряд станет двигаться по одной из половин параболы.
У читателя естественно мог возникнуть вопрос: что же произойдет со снарядом, если его скорость будет больше «круговой» скорости в 8
, но меньше «параболической» скорости в 11,2
?
Ньютон доказал, что в таком случае снаряд превратится в искусственный спутник Земли, но только обращаться вокруг Земли он будет не по окружности, а по эллипсу (рис. 2).
Рис. 2. Связь между скоростью тела и формой его траектории.
Чем с большей скоростью снаряд покинет ствол орудия, тем по более вытянутому и крупному эллипсу он полетит. На рисунке показана эллиптическая орбита спутника, по которой он будет двигаться, если его скорость лежит в пределах от 8
до 11
. При скоростях, близких к параболической, эллиптические орбиты становятся настолько огромными и вытянутыми, что вблизи ньютоновой пушки их трудно отличить от параболы. Наконец, когда достигнута «скорость отрыва», вместо обращения Земли по эллиптической орбите спутник навсегда покинет Землю, отправившись, в путешествие по параболе.
Мыслим и такой случай, когда скорость снаряда станет больше 11,2
. Тогда, как доказал Ньютон, тело никогда не вернется на Землю, но двигаться оно будет не по параболе, а по одной из гипербол. Чем больше скорость снаряда, тем более «разогнутой» становится его гиперболическая орбита, тем больше она приближается по своей форме к прямой, служащей касательной к поверхности Земли в вершине ньютоновой горы. Само собой разумеется, двигаться по касательной снаряд никогда не сможет — для этого его скорость должна стать бесконечно большой, что практически недостижимо.
Подведем итоги:
Снаряд ньютоновой пушки может лететь по разным траекториям. Если его скорость меньше круговой (8
), снаряд падает обратно на Землю по дуге, на малом протяжении сходной с параболой[2] при скорости 8
снаряд превращается в искусственный спутник Земли, обращающийся вокруг нашей планеты по круговой орбите. Могут быть созданы и «эллиптические» спутники, для чего необходимо, чтобы их начальная горизонтальная скорость заключалась в пределах от 7,9
до 11,2
. Наконец, для совершения межпланетного перелета необходимо сообщить телу скорость не менее 11,2
. В этом случае оно полетит по параболической или по одной из гиперболических орбит.
Ньютон был основателем небесной механики — науки о движениях небесных тел, вызванных их взаимным притяжением. Ему принадлежит полное решение основной, простейшей задачи небесной механики — так называемой «задачи двух тел».
Представим себе два небесных тела с известными массами m1 и m2. Допустим, что тела притягивают друг друга и в начальный момент расстояние между ними равно r (рис. 3). Скорость каждого из тел изобразится вектором, величину и направление которого будем считать известными (векторы υ1 и υ2). «Задача двух тел» заключается в том, чтобы, исходя из указанных начальных данных, определить положение тел для любого момента времени в будущем и в прошлом.
Рис. 3. Задача двух тел.
Ньютон решил эту задачу. Он доказал, что если одно из тел считать неподвижным, то второе тело может двигаться относительно первого только по одной из известных нам кривых — эллипсу, параболе или гиперболе. Какова же конкретно будет орбита второго тела — это зависит от исходных данных «задачи двух тел». Нетрудно заметить большое сходство
