Сапожный нож и солонка
Трактат, известный как «Книга лемм», отличается от других трудов Архимеда одной важной особенностью: у нас нет его греческого текста. Он дошел до наших дней только благодаря переводу на арабский язык, который сделал астроном, математик и переводчик IX века Сабит ибн Курра. Таким образом, у нас есть единственное свидетельство того, что это действительно труд Архимеда, — факт, который вызывает некоторые сомнения в его авторстве. Данная книга считается учебником из-за элементарности или вторичности многих содержащихся в ней утверждений. В частности, утверждение 7 гласит, что площадь круга, описанного вокруг квадрата, в два раза больше площади круга, вписанного в него. Текст состоит из 15 утверждений, причем в нем упоминается и сам Архимед: например, в утверждении 4, где представлена геометрическая фигура арбелос, что по-гречески означает «сапожный нож», так как она формой напоминает этот инструмент. Арбелос представляет собой область плоскости, ограниченную тремя касающимися друг друга половинами окружностей. На приведенном здесь рисунке арбелос соответствует затемненной части. У этой фигуры есть некоторые любопытные свойства, которые можно было бы включить в начальный курс геометрии. Возможно, самая интересная из них — это так называемые «круги-близнецы Архимеда» (см. рисунок на следующей странице): из точки С достраивается перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с окружностью наибольшего диаметра. Данный перпендикуляр делит арбелос на две фигуры. Затем в каждую из этих получившихся фигур вписываются окружности С1 и С2 так, чтобы они касались с двух сторон перпендикуляра и каждая из них касалась большой и малой окружности.
В утверждении 5 говорится, что площади этих кругов будут равны (SС1=SС2), независимо от местоположения точки С, отчего они и называются кругами-близнецами Архимеда. Существуют и другие круги, связанные с арбелосом, они тоже носят личные имена — круг Аполлония, круг Паппа и круг Банкофа.
Еще одна фигура, представленная в «Книге лемм», называется салинон, что согласно интерпретации историка математики Томаса Хита означает «солонка». В утверждении 14 даются указания, как построить эту фигуру, и вновь встречается имя Архимеда. То, что он неоднократно упоминается в данном трактате, говорит об учебном характере книги. Инструкции же, которые даются в ней для постройки салинона (рисунок 17 на стр. 116), таковы.
— Проводится отрезок прямой АВ, и в его середине отмечается точка О.
— Строится полуокружность, диаметр которой равен отрезку АВ.
— На отрезке АВ строятся еще две полуокружности равного диаметра (меньшего, чем половина отрезка) так, чтобы они касались первой полуокружности в точках А и В.
— Получаются полуокружности с диаметрами AD и ЕВ и центрами соответственно в точках G и H.
— Строится полуокружность с диаметром DE в сторону, противоположную двум предыдущим, замыкая таким образом фигуру.
— Фигура, замкнутая построенной линией из четырех полуокружностей, и есть салинон.
Место предполагаемой могилы Архимеда в Сиракузах на Сицилии.
В 1965 году вычисление наименьшего из возможных решений задачи о быках заняло у компьютера IBM 7040 7 часов 49 минут (фото: Columbiana photo archive).
В «Книге лемм» Архимед представляет геометрическую фигуру «арбелос» (сапожный нож), названную так из-за сходства с соответствующим инструментом (фото: Thomas Schoch).
РИС. 17
РИС. 18
Интересно отметить, что при представлении салинона Архимед в том же утверждении описывает следующее его свойство.
— Проводится прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через точку О.
— Эта прямая пересекает границы салинона в точках С и F.
— Берется точка Р, представляющая собой середину отрезка CF, и строится окружность с центром Р и диаметром CF.
— Можно доказать, что площадь салинона равна площади круга с диаметром CF и центром Р (рисунок 18).
Трехмерные архимедовы фигуры
К сожалению, до нас не дошел трактат «О правильных многогранниках», в котором, по- видимому, Архимед подробно описывал трехмерные тела, носящие в наше время его имя. Однако мы знаем о них благодаря александрийскому математику Паппу. В книге V своего «Математического собрания» он пишет:
«Хотя можно придумать множество многогранников самых разных видов, более всего заслужили внимание многогранники, которые имеют правильную форму. Таковы не только фигуры, найденные великим Платоном, то есть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и пятый — икосаэдр, но и 13 многогранников, открытых Архимедом, сложенные из правильных, но не одинаковых многоугольников с равными сторонами и равными углами».
РИС. 19
Архимедовы тела, примеры которых приводятся на рисунке 19, — это 13 выпуклых многогранников, которые по большей части получаются из Платоновых тел «срезанием углов»: усеченный куб, усеченный тетраэдр, малый ромбокубооктаэдр, большой ромбокубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, плосконосый куб, кубооктаэдр, малый ромбоикосододекаэдр, большой ромбоикосододекаэдр, икосододэкаэдр и плосконосый додекаэдр.
ГЛАВА 4
Военный инженер
Греческий мир в эпоху Архимеда был охвачен желанием понять и покорить окружающую природу. Для этой цели требовалось создавать разнообразные машины, все более и более сложные, будь то устройства открытия ворот, или подъемные механизмы для больших грузов, или более совершенные корабли. Именно в таких обстоятельствах математика, находившаяся на тот момент в расцвете, открыла дорогу инженерному искусству.
