— Между прочим, — продолжал он, — парадоксы, как правило, облачены в форму утверждений, а не вопросов. Так что мой парадокс — это новое слово в парадоксах, поскольку представляет собой именно вопрос, а не утверждение. Он построен на том же принципе, что и знаменитая фраза, которая доказывает собственную ложность.
— Какая фраза? — спросила Алиса.
— Это весьма известная фраза — дай-ка, я тебе ее напишу. Алиса протянула ему свой карандаш с блокнотиком. Шалтай-Болтай пролистал первые девять страничек.
— Довольно интересные вещи у тебя тут описаны, — заметил он, — вот только ты забыла пронумеровать страницы. Никогда не забывай нумеровать страницы! Иначе как ты разберешься, в каком порядке они идут?
— Никогда не забывай нумеровать страницы! — настойчиво повторил Шалтай-Болтай. — Дай-ка, я их тебе сейчас пронумерую.
И он пронумеровал девять исписанных страничек и еще десятую и одиннадцатую странички, которые оставались пока чистыми. Затем написал что-то на десятой страничке и протянул блокнот Алисе. Алиса прочла:
— 10 —
— Утверждение на странице 10 ложно
— А теперь ответь на мой вопрос, — сказал Шалтай-Болтай — истинно или ложно утверждение, написанное на десятой странице твоего блокнота?
— Затрудняюсь ответить, — сказала Алиса после некоторых раздумий, — думаю, оно может быть как истинным, так и ложным.
— Да нет же! — воскликнул Шалтай-Болтай. — Ты говоришь, оно может быть как истинным, так и ложным? А я говорю, что оно не может быть ни истинным, ни ложным!
— Как это? — поразилась Алиса.
— А вот как, девочка: можем мы предположить, что данное утверждение истинно?
— Почему нет? — пожала плечами Алиса.
— Хорошо, предположим, оно истинно. Тогда все, что в нем говорится, должно быть на самом деле. Но в этом утверждении говорится о том, что оно ложное. Значит, действительности соответствует то, что оно ложно. Следовательно, если мы предполагаем, что данное утверждение истинно, то оно должно быть ложным. Но утверждение не может сразу являться истинным и ложным! Следовательно, невозможно, чтобы данное утверждение было истинным.
— Конечно, — согласилась Алиса. — Но уж, коли это утверждение не может быть истинным, значит, оно должно быть ложным.
— И снова неправильно! — торжествующе заявил Шалтай-Болтай. — Ложным оно тоже не может быть!
— Почему не может? — спросила Алиса.
— Хорошо, предположим, оно ложно. Тогда всего, что в нем говорится, нет на самом деле. В этом утверждении говорится о том, что оно ложное. Раз всего, что говорится в утверждении, нет на самом деле, значит, утверждения о том, что оно ложное, нет на самом деле — другими словами, оно истинно. Следовательно, если мы предполагаем, что утверждение ложно, то оно истинно, а это опять противоречие! Стало быть, данное утверждение не может быть ложным. Вот так вот!
— Какая досада, — произнесла вконец расстроенная Алиса. — Я попала в ту же ловушку, что и с первой вашей головоломкой!
— Вот именно! — ответил Шалтай-Болтай, — и в этом вся прелесть!
— Вообще-то, — сказала Алиса, — мне уже приходилось слышать что-то подобное этому парадоксу. Я имею в виду историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском, который однажды заявил: «Все критяне лжецы». Если Эпименид сказал правду, значит, он солгал, а если он солгал, значит, сказал правду. Получается парадокс.
— Никакой это не парадокс! — категорично заявил Шалтай-Болтай. — Это одно из самых частых заблуждений! Как раз тот случай, когда что-то кажется парадоксом, но по сути им не является.
— Разъясните, будьте добры! — попросила Алиса.
— Начнем с того, кого называть лжецом — того, кто лжет всегда, или того, кто лжет периодически?
— Я об этом раньше не задумывалась, — призналась Алиса. — Наверное, даже тот, кто лжет периодически, уже называется лжецом.
— Тогда здесь однозначно нет никакого парадокса, — ответил Шалтай-Болтай. — Утверждение Эпименида могло быть правдой и означало бы лишь то, что все критяне иногда лгут. В этом случае Эпименид, будучи критянином, тоже иногда лжет,
но это вовсе не означает, что лжет он и на этот раз. Никакого парадокса нет и в помине.
— Это понятно, — сказала Алиса. — Тогда мне, пожалуй, следует определить лжеца как того, кто лжет всегда. Получится ли у нас парадокс в этом случае?
—Нет, даже в этом случае парадокса не будет, — ответил Шалтай-Болтай. — Теперь мы действительно знаем, что утверждение Эпименида не может быть истинным, потому что будь оно истинно, это бы означало, что все критяне лгут всегда, не исключая и самого Эпименида, который, будучи критянином, тоже лжет всегда, следовательно, солгал и тогда, когда сделал это заявление. Так что, будь утверждение истинно, оно одновременно должно было быть ложным, что является противоречием.
— Но ведь это и есть парадокс! — воскликнула Алиса.
— Да нет же! Нет! — закричал Шалтай-Болтай. — Противоречие возникает лишь тогда, когда мы допускаем, что утверждение истинно. Если же считать, что утверждение ложно, никакого противоречия нет!
— Будьте любезны, объясните! — попросила Алиса.
— Что в нашем случае означает «ложное утверждение»? Это означает, что утверждение о том, что все критяне лжецы, не соответствует действительности. Другими словами, на самом деле как минимум один критянин хоть иногда говорит правду. Следовательно, из заявления Эпименида следует лишь то, что он солгал, потому что в действительности как минимум один критянин иногда говорит правду. И нет тут никакого парадокса!
— Это очень интересно! — сказала Алиса.
— Кстати сказать, — добавил Шалтай-Болтай, — если мы предположим, что Эпименид единственный на свете критянин и что это утверждение — единственное утверждение в его жизни — тогда только мы и придем к парадоксу! Тогда это будет похоже на то утверждение, которое я записал в твою записную книжку — утверждение, доказывающее собственную ложность.
— Раз уж речь зашла о парадоксах, — продолжал Шалтай-Болтай, — проведем еще один эксперимент. Не одолжишь ли мне снова свой блокнот?
