такое жизнь?» [1], где он честно признается, что физика пока не может дать ответа на этот вопрос (как и биология). Поэтому в нашей статье будут рассмотрены только известные наблюдательные биологические факты о росте живого организма и проанализированы некоторые математические модели роста.
Используя многочисленные наблюдения, в 1798 г. Мальтус предложил очень простую модель экспоненциального роста численности человеческой популяции. В дальнейшем эта модель достаточно успешно применялась к таким явлениям, как начальный рост эмбриона, рост раковой опухоли, рост биомассы в ферментёре и т. д. Модель Мальтуса предсказывает, как правило, кризисный исход неограниченного роста. В то же время, значительная доля наблюдений демонстрирует не экспоненциальный, а логистический (S-образный) рост, математическую модель которого (в рамках модели Мальтуса) впервые предложил в 1825 г. Гомпертц. Его модель долгое время очень интенсивно разрабатывалась применительно к проблеме смертности. В 1838 г. Ферхюльст представил модель логистического (ограниченного) роста, добавив в уравнение Мальтуса квадратичное слагаемое (со знаком «минус»). Данная модель достаточно близка к реальной ситуации роста живого организма. Следует также отметить очень содержательную математическую модель роста с учетом конкуренции (межвидовой и внутривидовой) двух популяций (модель «хищник — жертва» Лотки-Вольтерра, 1925 г.). Большое влияние на моделирование роста генетических систем оказала гипотеза «оперона» Жакоба-Моно (так называемая, «триггерная модель», 1961 г.). Математические разработки подобных моделей можно найти в [2].
2. Эффект «провала» в процессе роста живого организма
Мы обратили внимание на один экспериментальный факт, замеченный физиологами еще в XIX веке (подтвержденным позднее многочисленными наблюдениями), но оставшийся без математического «объяснения»: на ранних этапах развития живого организма, наблюдается эффект «провала» в непрерывном росте его биомассы. Это можно видеть на примере начального роста растения из исходного семени, который мы экспериментально исследовали (в 1985 г.) при измерении скорости роста сухой биомассы растения и четко зафиксировали эффект «провала» [3]. Кроме эффекта «провала», в данной работе также наблюдался «развал» функции распределения массы растений по скорости их роста (распределения Гаусса) в тот же небольшой период, что и у «провала» (первые 10 дней роста). Ярким примером эффекта «провала» может служить повсеместно наблюдаемое явление кратковременного уменьшения веса ребенка в момент его рождения.
Возможное «объяснение» явления «провала» предложил Д.С. Чернавский (личное сообщение, см. также [4]). Качественно он его представил так: следуя гипотезе «оперона» Жакоба-Моно, при переключении генетической системы биологического объекта с гетеротрофного на автотрофный тип питания, данной системе «энергетически выгодно» (для экономии ресурсов), на короткое время (так называемый, «лаг-период»), полностью «отключиться» от управления процессом роста. Математически это демонстрируется с помощью фазового портрета работы генетической системы. Гипотеза Жакоба-Моно очень привлекательна, тем более что она получила дальнейшее развитие в современном «гипотетическом» моделировании работы генетических систем клетки на основе представления генома, как молекулы ДНК. Тогда, в конце 1980-х годов, построить математическую модель обнаруженных экспериментально эффектов («провала» и «развала») не удалось. Сейчас мы решили вернуться к этой задаче. Такая модель будет представлена здесь ниже. Следует отметить, что мы рассматриваем наследственную молекулу ДНК только как структурную часть генома, ответственную за синтез белка, что вполне допустимо в начальный момент роста живого организма. Что такое геном в целом и как он «выглядит» в дальнейшем процессе морфогенеза, генетика пока не знает (это точка зрения Тимофеева-Ресовского — личное сообщение). Тем не менее, в принципе, можно ввести более общее (чем ДНК) понятие «информационного содержания генома» (ИСГ) [5], которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. В случае структурного гена, условно можно считать, что ИСГ — это только часть информации о структуре определенного белка, «записанная» четырех-буквенным кодом в ДНК.
Ни одна из отмеченных выше математических моделей роста не описывает эффект «провала». Цель нашей работы заключается в построении модели роста на основе предположения, что ИСГ увеличивается в начале онтогенеза по экспоненциальному закону, а сам организм («оболочка» генома) в морфогенезе — по логистическому закону. Модель будет строиться для плотности ИСГ, в надежде найти математическое обоснование эффекта «провала».
3. Рост генома и рост клетки
3.1. Рост плотности ИСГ
По нашему предположению, рост ИСГ происходит по закону Мальтуса:
İ = r1·I (1)
здесь: I — ИСГ; r1 — относительная скорость роста ИСГ; точка над İ — производная по времени t.
Решение уравнения (1) хорошо известно:
I(t) = I(0)·exp(r1t) (2)
Введем понятие «плотности ИСГ» ρ(t):
ρ(t) = I/V (3)
где V (t) — объем клетки (особи) в виде шара радиуса R(t): V = 4πR3/3 .
После несложных преобразований, получаем уравнение для роста ρ(t) :
dρ/dt = ρ (r1 — 3Ṙ/R) (4)
где учтена роль «оболочки» (в виде радиуса клетки).
3.2. Рост радиуса клетки
Приведем некоторые формулы из модели Ферхюльста, которыми воспользуемся при построении нашей модели (см. ниже). Запишем уравнение Ферхюльста в виде:
Ṙ/R = r2(1- R/K) (5)
здесь: К — так называемая, «емкость» живой особи (К = lim R, при t→∞), r2 — относительная скорость роста R.
Решение уравнения Ферхюльста хорошо известно, мы его представим в виде:
R/K = [R(0)·exp(r2t)]/[K — R(0) + R(0)·exp (r2t)] (6)
3.3. Новая модель роста
Подставим (5) и (6) в (4):
dρ/dt = ρ(t)·f(t) (7)
здесь:
f(t) = (r1 — 3r2)t + 3r2 ·(R/K) (8)
(R/K) — дается формулой (6).
Уравнение (7) решается точно:
ρ(t) = ρ(0)·exp[ʃ f(t)dt] (9)
Интеграл в показателе экспоненты легко берется методом разделения переменных, и окончательная формула для ρ(t) выглядит так:
ρ(t)/ρ(0) = [exp(r1 — 3r2)· t]·[K /R(0) + exp(r2t)— 1]³ (10)
На графике данной функции, который мы построили с помощью компьютерной программы Excel, четко виден эффект «провала» (см. рис. 1):
Рис. 1. «Провал» в росте плотности ИСГ (см. формула (10))
4. Обсуждение полученных результатов
Главная цель нашей модели достигнута: её решение четко демонстрирует эффект «провала» (см. рис. 1). При постоянстве объема тела (за короткий период «провала»), динамика «провала» плотности ИСГ коррелирует с аналогичной динамикой «провала» роста массы тела [3]. Этого следовало ожидать, так как можно предположить, что плотность ИСГ (на ранних этапах роста) непосредственно связана с биомассой. Но сама суть эффекта «провала» (и эффект «развала» функции распределения) пока что не поддается
