В поисках числа π
В работе «Об измерении круга» отражены изыскания Архимеда в области соотношения длины окружности (L) и ее диаметра (d). Из утверждения 3 этого трактата следует, что длина окружности в 3,14 раз больше ее диаметра, то есть L = 3,14 d.
Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = π • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него π = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле π — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.
Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее.
Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = πr². Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна π. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число π. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга Sc будет больше площади вписанного шестиугольника SHp и меньше площади описанного SHG (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.
РИС. 1
РИС. 2
Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:
«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):
3 + 10/71 < Sc Sтреугольника». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.
— «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: Sкруга < Sтреугольника». Архимед доказывает, что невозможно и это.
— Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: Sкруга = Sтреугольника.
Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:
— Sкруга = πr².
