Нечестно сравнивать Месси и Роналду с теми из нас, кто спотыкается о собственные ноги в парке воскресным утром. О Месси (как правило, наряду с Пеле и Марадоной) говорят как о лучшем футболисте всех времен. Вопрос, который нам нужно задать: как современных игроков можно сравнить с теми, кого мы видели в прошлом? Как часто мы ожидаем такое событие, как Месси? Один раз в десять лет? Раз в поколение? Или даже раз в сто лет?
Для измерения экстремумов нужны наблюдения. Нам нужно знать количество голов, забитых лучшим бомбардиром в конкретной лиге за сезон, или какой день был самым жарким в году в Лондоне. Анализ наблюдений за предыдущие десятилетия может дать нам некоторое представление о том, что произойдет в следующем году. Если в предыдущие сезоны никто не забивал больше 40 голов, то вряд ли кто-то сделает это в этом. Если в летний день в Лондоне температура не превышала 36 °C, мы не должны ожидать, что следующим летом будет намного жарче.
В Испании Трофей Пичичи каждый год вручается игроку, забившему наибольшее количество голов в Ла Лиге. Трофей присуждается с 1929 года, но в 1986 году Ла Лига установила нынешний формат с 20 командами. И теперь каждая команда играет по 38 игр в сезоне[30]. На рисунке 4.1 показана гистограмма количества голов, забитых обладателями трофея в период с сезона-1986/87 до 2009/10. Эта гистограмма похожа на гистограмму количества голов за игру из главы 1. Отличием является то, что теперь она показывает общее количество мячей, забитых за сезон самым успешным нападающим.
По состоянию на лето 2010 года ни один игрок в Ла Лиге не забивал 39 или более голов за один сезон. Также не казалось особенно вероятным, что кто-то побьет этот рекорд в предстоящем сезоне. В сезоне-2009/10 Месси забил 32 мяча, Роналду (26 голов) занял второе место. Чтобы превысить эту отметку, кому-то из них потребовалось бы показать нечто исключительное. Им бы пришлось побить рекорд, который держался на протяжении 23 лет.
Рисунок 4.1. Гистограмма количества голов, забитых победителями Трофея Пичичи (за наибольшее количество забитых мячей в испанской Ла Лиге) между сезонами 1986/87 и 2009/10 гг.
Но как рассчитать вероятность (в процентном соотношении) того, что один из них поставит новый рекорд в сезоне-2010/11? Один из способов – игра в угадайку. Взгляните на рисунок 4.1. Можете ли вы догадаться, в каком сезоне было забито рекордное количество голов? Вы думаете о Роналдо, или Рауле, или даже Руде ван Нистелрое? Если вы хорошо подкованы, то вспомните великого Уго Санчеса, который никому не отдавал Трофей Пичичи в конце 1980-х. В сезоне-1989/90 он забил 38 мячей в 35 матчах за «Реал Мадрид», что в среднем составляет больше гола за игру. Но, скорей всего, большинство из нас ответили бы неправильно. Без хорошего знания испанского футбола вероятность большинства угадать правильный год составит около 1 из 23, или 4,35 %. Все, что мы можем сделать, это выбрать год наугад.
Теперь давайте включим в нашу угадайку сезон-2010/11. Представьте себе, что сейчас лето 2010 года и вас спрашивают: «В каком сезоне игрок забьет наибольшее количество мячей, если считать и этот сезон?» Если вы не знаете ответа, вы просто должны поставить сезон-2010/11 наравне с предыдущими. Вероятность, что именно в этом сезоне рекорд будет побит, такая же, как и для остальных 23 лет: 1 из 24, или 4,17 %.
Игра в угадайку предлагает общее правило для определения того, насколько вероятен предельный случай. Если события не произошло ранее, то это не означает, что оно никогда не произойдет. Значение вероятности равна 1, поделенной на количество раз, когда событие не происходило, плюс один (за сезон, которым мы сейчас интересуемся). В нашем случае это 1/(23+1) = 1/24. В 2010 году казалось, что нужно нечто экстраординарное, чтобы обойти рекорд Уго Санчеса[31].
Раз в жизни
Итак, смог ли Месси забить больше 38 голов и побить рекорд Трофея Пичичи в ходе чудесного для «Барселоны» сезона-2010/11? Если вы еще не проверяли «Википедию», я могу вам сказать. Нет. Месси забил 31 мяч, на один меньше показателя предыдущего сезона. С другой стороны, Роналду улучшил свои результаты в Ла Лиге, забив 41 мяч, и получил Трофей Пичичи[32]. Оглядываясь назад, всегда трудно сказать: 23/1 – это хорошие шансы на успех или нет. Это безусловно было достижением, которое превзошло предыдущие рекорды. Успех Роналду мог показаться свершением, «которое бывает только раз в поколение».
То, что произошло дальше, полностью опровергло нашу модель угадывания. В сезоне-2011/12 года Роналду забил 46 мячей, спокойно обойдя все предыдущие рекорды. Но Месси отгрузил 50 в 37 матчах. Не один, а сразу два игрока превзошли прошлогодние показатели. В сезоне-2012/13 водопад голов продолжился: Месси закончил чемпионат с показателем в 46 мячей, а Роналду – 34. В следующем сезоне было небольшое падение: Месси выпал из гонки, а португалец набрал 31 забитый мяч. Но в сезоне-2014/15 Роналду вернулся, наколотив 48 голов.
50 голов Месси в одном сезоне действительно исключительны, но насколько они исключительны? Расчеты, которые мы совершили до этого, позволяют нам говорить о том, какова вероятность падения рекорда в следующем сезоне. Но они не показывают нам, насколько больше голов будет забито. Как часто мы предполагаем, что в одном сезоне Ла Лиги кто-то забьет 50 мячей? На этот вопрос мы можем ответить. Но для этого нам понадобится не игра в угадайку, а немного более продвинутая математика. Мы применим математическую модель, которая называется распределение экстремальных значений.
Распределение экстремальных значений является математической моделью всех типов экстремумов, будь то самые жаркие или дождливые дни, скорость ветра или голы в Испании. Для его применения должны выполняться два ограничения. Первое ограничение заключается в том, что количество голов, забитых за один сезон, не должно влиять на количество забитых голов в следующем сезоне. Это вполне логично: как мы видели в главе 1, время для одного гола мало или вообще не влияет на время для следующего. Суть второго ограничения в том, что голевые тенденции не должны сравниваться с тенденциями прошлого года. Это сложнее, потому что баланс между атакой и защитой может меняться от сезона к сезону. Мы вернемся ко второму условию позже, но пока допустим, что оно соблюдается. Давайте посмотрим, что говорит нам теория экстремальных значений.
