выражение для кинетической энергии может быть определено как только, если импульс будет тела определен не с помощью преобразований вида , а именно с помощью данного выражения. Равно как и волна де Бройля должна быть выражена не через механический релятивистский импульс тела, а через его кинетическую энергию, то есть в виде: . В этом случае модуль квантового импульса равен . А сам квантовый импульс как векторную величину можно определить через выражение . Если действовать формально, поскольку для волны невозможно определить место приложения квантового импульса, то силу, как физическую величину, в зависимости от квантового импульса следует выразить в виде:
При скоростях, значительно меньше скорости света получается совпадающее с классическим выражение для силы .
Обратим внимание на очень важное обстоятельство, являющееся следствием явной независимости функции Лагранжа свободно движущегося тела (его кинетической энергии) от времени и координат. Как раз для того, чтобы связать энергетические характеристики тела с его местоположением в пространстве и времени, и вводится понятие об импульсе тела. Это необходимо для того, чтобы анализ результатов наблюдения за телом можно было описать с помощью математических методов и терминов в привязке к конкретному наблюдаемому или предполагаемому местоположению тела. Но квантовый и релятивистский механический импульсы являются принципиально различными (в математическом и физическом смыслах) решениями указанной задачи. Первое из них является представлением кинетической энергии тела через дополнительную векторную функцию, определяемую через ее проекции на координатные оси и направление движения тела. В то время как второе – частной производной первого порядка от кинетической энергии. Совпадение данных решений конечно возможно, но это равенство должно быть не самоцелью, а автоматическим следствием действий с функцией Лагранжа по заданным правилам и соблюдением заранее принятых аксиом. Но для релятивистских скоростей данное условие не может быть выполнено. Это связано с тем, что аксиомами для специальной теории относительности являются принципы однородности как времени, так и пространства. В общей теории относительности было предложено отказаться от принципа однородности пространства, а закон сохранения механического импульса считать имеющим локальный, а не глобальный характер. Однако на глобальность характера закона сохранения квантового импульса отказ от принципа однородности пространства не может влиять никаким образом, так как квантовый импульс является особым представлением кинетической энергии, закон сохранения которой основан на принципе однородности времени, а не пространства. А принцип однородности времени не находится в противоречии с принципом эквивалентности инерциальных систем. Сам же отказ от принципа однородности пространства является следствием логического предположения о глобальности, то есть независимости от координат, принципа сохранения скорости света при гравитационном взаимодействии. Но мысленное, абстрагированное от материальной сущности представление человека о свойствах и особенностях природы с помощью их выражения в виде логических символов в качестве законов и закономерностей природы невозможно без использования таких понятий как геометрический континуум и время. А если мы имеем дело с континуумом, то должна быть и непрерывная сущность, которая в идеальном случае должна быть однородной. И это приводит нас к заключению, что принципы однородности пространства и времени могут быть применимы совместно с принципом конечности скорости света, который можно трактовать как ее постоянство, но только в идеальном случае, то есть при существовании корпускулярных частиц материи в пустом пространстве.
Как механический, так и релятивистский квантовый импульс при скоростях много меньше скорости света определяются выражением, принятым в классической механике: . Существенные количественные различия между механическим и квантовым импульсами возникают только при превышении скорости частицы величины в половину скорости света.
Но и в первом, и во втором случаях для релятивистского определения импульса нет необходимости в специальном введении принципа о лоренц-инвариантности импульса-энергии.
В тоже время для релятивистских и сверхсветовых скоростей гамильтоново представление динамики является проблематичным, так как релятивистская функция Лагранжа не является математически однородной, что приводит к неприменимости выражения в отношении релятивистских функций Лагранжа и Гамильтона для трехмерного пространства в случае свободного движения тела, При определении функции Гамильтона в трехмерном пространстве необходимо учитывать изменение единиц измерения времени для общего выражения функции , а не только импульса. В связи с этим функция Гамильтона для трехмерного пространства приобретает вид: , то есть вид, отличный от применяемого в классической механике. Но в этом случае использование функции Гамильтона, как замены выражения при релятивистском определении функции Лагранжа в трехмерном пространстве, невозможно, если одновременно мы хотим обеспечить соблюдение закона сохранения релятивистской кинетической энергии при инерциальном движении тела: .
В этом смысле уравнение Шредингера, сформулированное таким образом, чтобы определять состояние частицы на основе учета скрытой в трехмерном пространстве «инерциальной» силы и сил, действующих на нее внешним потенциальным полем, не может быть определено с помощью функций Гамильтона и Лагранжа, применяемых для описания движения тела, то есть в динамике, поскольку уравнение Шредингера предназначено для определения состояния в произвольно выбираемой точке, то есть в статике. В связи с этим необходимо констатировать, что уравнение Дирака не является обобщением уравнения Шредингера для релятивистских скоростей по нескольким причинам.
Во-первых, мало того, что описание частицы в нем производится в состоянии динамики, так оно еще и основано на обязательном соблюдении противоречащего основаниям теоретической механики принципа лоренц-инвариантности энергии-импульса. Во-вторых, в данном уравнении используется оператор импульса, по своей сущности аналогичный лоренц-инвариантному механическому, а не квантовому импульсу, которые, как уже указывалось, принципиально отличаются друг от друга. Ну и, наконец, в-третьих, операторы импульса в этом уравнении определены в четырехмерном пространстве, в то время как волновая функция определена в трехмерном пространстве. Данное обстоятельство является удивительным математическим открытием, так как в трехмерном пространстве можно построить трехмерную проекцию четырехмерного вектора, но никак не сам вектор. Справедливости ради необходимо отметить, что в первоначальном уравнении Дирака, считающегося эквивалентной формой записи уравнения Шредингера, вместо оператора Лапласа при замене потенциальной энергии на энергию покоя использован оператор импульса: . Причем оператор импульса задан для трехмерного пространства. Но в современной трактовке энергия покоя тела рассматривается как произведение скорости света на проекцию импульса движения тела по временной координате четырехмерного пространства. При этом ни определения независимого времени для этого пространства, ни преобразования волновой функции к виду, действительному для четырехмерного пространства, не производится. С учетом данных обстоятельств, для релятивистских скоростей использование в квантовой механике уравнения Шредингера в обобщенной форме (через гамильтониан) не представляется возможным. Сама же идея о формулировке выражения для волновой функции через дифференциальное уравнение первого, а не второго порядка, является очень заманчивой. Однако использовать для этого гипотезу Дирака о «линейных операторах над пространством биспиноров (матрицы Паули)», казалось бы,
