воздушная монорельсовая дорога (или числовая прямая — так её называют по-другому), иррациональные числа после долгих скитаний получили, наконец, точный адрес. Вычислить их по-прежнему можно только приближённо. Зато легко указать место на монорельсовой дороге, где они живут. Вместе с числами рациональными они образуют дружную семью действительных чисел, — закончила мама-Двойка и снова заставила нас удивиться.
— А разве бывают и недействительные?
— Конечно. Есть числа мнимые, есть комплексные…
Сева не дал ей договорить.
— Вспомнил! — заорал он. — И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться!
— Да, да, — подтвердила я, — так ответил автомат маленькой буковке с зонтиком: i.
— Оно и понятно, — сказала мама-Двойка, — латинской буквой i (по-русски — И) в Аль-Джебре обозначается Мнимая Единица.
— Но почему мнимая? Она что, воображаемая?
— Настолько воображаемая, что ей, как и другим мнимым числам, не нашлось местечка на всей бесконечной монорельсовой дороге.
— Так вот почему она была такая грустная! — смекнул Сева.
— А где же тогда живут мнимые числа? — спросил Олег.
— Всякому овощу своё время.
Пришлось спрятать любопытство в карман. Мы распрощались с мамой-Двойкой и пошли… Куда бы ты думал? Конечно, в Парк Науки и Отдыха.
Как мы там отдыхали, узнаешь из следующего письма.
Таня.
Молотобойцы
(Сева — Нулику)
Здравствуй, старик! Не удивляйся, что вместо Олега пишу тебе я. Мне так захотелось самому рассказать, как я здорово отличился, что он уступил мне свою очередь.
Говорят, великие люди занимались физическим трудом и спортом. Лев Толстой косил траву, шил сапоги. Учёный Павлов играл в городки. А я решил стать молотобойцем.
Здесь в парке есть занятный аттракцион — силомер. Такие встречаются и у нас, но этот устроен немного по-другому.
У нас ударяешь молотом по наковальне, и гирька подскакивает вверх. Чем сильнее ударишь, тем выше она поднимется. На таком силомере меряются силами. На здешнем — знаниями.
Рейка, вдоль которой движется гиря, очень похожа на монорельсовую дорогу. Только числовая прямая здесь расположена по-другому: не в длину, а в вышину. И числа на ней, начиная с нуля, только положительные. На этом силомере возводят числа в степень.
Задумываешь число, возводишь в уме в какую-нибудь степень, а потом, чтобы проверить себя, бьёшь молотком по наковальне. Гирька долетает до вычисленной степени. Если ты возвёл правильно, у этого числа зажигается зелёный огонёк, ошибся — красный.
Первый удар предоставили Тане. Ничего не поделаешь: девочка! Она возвела два в третью степень. У неё получилось восемь. Таня стукнула молотком,гирька взлетела к восьмёрке, и зажглась зелёная лампочка.
Потом стукнул Олег. Он возвёл два в десятую степень. Получилось 1024. И когда гирька долетела до этого числа, снова зажглась зелёная лампочка. Всё это показалось мне очень уж обыкновенным. Захотелось отмочить что-нибудь такое, чтобы все ахнули. Я объявил, что сделаю удар в честь моего друга Нулика-Профессора.
Возвёл двойку в нулевую степень. У меня получился нуль.
Я изо всей силы трахнул молотком по наковальне, и — ха-ха! — гирька осталась на нуле. Этого-то я и хотел! Но как же я удивился, когда вместо зелёного огонька зажёгся красный! Может быть, я так сильно ударил, что силомер испортился? Но почему же тогда все кругом засмеялись?
Я не знал что и подумать, но тут какая-то латинская буковка — не то Эн, не то Эм — сказала, что таких ошибок у них даже дети не делают и что любое число, возведённое в нулевую степень, всегда равно не нулю, а единице. Я несколько раз проверил это на силомере — правильно! И пять, и сто, и двести — все они в нулевой степени равны единице.
Тогда я решил возвести в нулевую степень нуль. Я рассуждал так: коли нуль — это число, а все числа в нулевой степени равны единице, то и нуль в нулевой степени тоже равен единице.
Ударил по наковальне и…
Лучше бы я этого никогда не делал!
Гирька словно взбесилась: сперва взвилась под облака, потом ушла куда-то под землю, потом опять взмыла вверх.
И так она металась туда-сюда, пока кто-то не догадался выключить силомер.
Тут уж никто не смеялся. У всех были испуганные лица — почти как на том представлении, где твой тёзка, Нулик, стащил знак умножения. Я и сам-то перепугался до смерти.
Страшнее всего было то, что гиря всё время куда-то проваливалась. Оказалось, числовая прямая уходит другим концом в бездонный колодец, где помещаются отрицательные числа.
Наверное, у меня был очень несчастный вид, потому что та же буква — не то Эм, не то Эн — подошла ко мне и стала утешать.
— Успокойтесь, — сказала она, — так может быть со всяким, кто впервые в Аль-Джебре. Нуль и в самом деле число, но совсем особенное. Вы ведь помните, что оно не бывает ни положительным, ни отрицательным. Поэтому обращаться с ним надо осторожно. А когда возводишь нуль, да ещё в нулевую степень, нужно быть осторожным вдвойне. Потому что при этом получается неопределённое число. Оно может быть и пятёркой, и миллионом, и бесконечностью, и положительным, и отрицательным, и даже нулём! Поэтому гирька до того растерялась и разнервничалась, что силомер испортился.
Славная буковка! Мне захотелось сказать ей что-нибудь приятное. Вообще-то у меня это плохо получается. Но я вовремя вспомнил, как моя тётя Нина разговаривает с гостями.
— Ах, ах, это в высшей степени интересно! — сказал я самым что ни на есть разлюбезным голосом.
— Благодарю вас, — засмеялась буковка. — Но не советую употреблять выражение «в высшей степени» в Аль-Джебре. Как бы ни была высока степень, всегда найдётся ещё более высокая. Ведь числа бесконечны.
Эх, подвела меня тётя!
Тут силомер снова наладили, и Тане вздумалось возвести число не в целую степень, а в дробную.
— Если возвести четыре в половинную степень, по-моему, получится два, — сказала она.
— С чего это ты взяла? — спросил я.
— А вот с чего: четыре в нулевой степени равно единице. Четыре в первой степени — четырём. Значит, четыре в половинной степени равно половине от четырёх, то есть двум.
Таня стукнула молотком. Гирька остановилась у числа два, и вспыхнула зелёная лампочка. Тогда и мне захотелось попробовать.
— Возвожу девять в половинную степень, — объявил я. — Рассуждаю так: девять в нулевой степени — это
