Какая польза от этих результатов? Я не знаю ответа. Они почти наверняка дадут какие-то теоремы в теории дифференциальных уравнений в частных производных, и некоторые из них могут найти применение в МРТ или ультразвуковом сканировании, однако это вовсе не обязательно. Да и несущественно. Мы с Квинто изучаем эти темы, поскольку они интересны сами по себе как математические проблемы, и в этом вся суть науки.
Глава 11. Будущее анализа
Название этой главы может вызвать недоумение у тех, кто считает анализ завершенным. Какое у него может быть будущее? Он же закончен, разве нет? Именно это на удивление часто можно услышать в математических кругах. В нынешней интерпретации анализ начался взрывом благодаря прорыву Ньютона и Лейбница. Их открытия привели к золотой лихорадке 1700-х, когда озорные, почти головокружительные исследования позволяли разгуляться голему бесконечности. Предоставив ему полную свободу действий, математики получили множество впечатляющих результатов, но также породили массу бессмыслицы и сумятицы. Поэтому в 1800-х следующие поколения математиков, более строго относившиеся к своей работе, снова загнали голема в клетку. Они убрали из анализа бесконечность и бесконечно малые величины, укрепили фундамент предмета и окончательно прояснили, что на самом деле означают пределы, производные, интегралы и действительные числа. Примерно к 1900 году операции по зачистке были закончены.
На мой взгляд, такое представление об анализе слишком однобоко. Ведь анализ – это не только работы Ньютона, Лейбница и их последователей. Его история началась намного раньше и развивается до сих пор. Для меня анализ определяется его кредо: чтобы решить сложную задачу о чем-то непрерывном, разрежьте ее на бесконечно много частей, решите их и, собрав затем ответы воедино, сможете понять смысл исходного целого. Я назвал это кредо принципом бесконечности.
Принцип бесконечности существовал с самого начала: в работах Архимеда с криволинейными формами; во время научной революции; в ньютоновской системе мира; есть он и сейчас – в наших домах, наших автомобилях и наших офисах. Он помог нам разработать GPS, мобильные телефоны, лазеры и микроволновые печи. ФБР использовало его для сжатия миллионов файлов отпечатков пальцев. Аллан Кормак применил для создания теории КТ-сканирования. И ФБР, и Кормак решали сложную задачу, собрав ее из более простых частей: вейвлеты для отпечатков пальцев, синусоиды для компьютерной томографии. С этой точки зрения анализ – это обширная коллекция идей и методов, используемых для изучения чего угодно: любой закономерности, любой кривой, любого движения, любого природного процесса, системы или явления, которые меняются плавно и непрерывно, а потому могут стать основой для принципа бесконечности. Это широкое определение выходит далеко за рамки анализа Ньютона и Лейбница и включает его потомков: анализ функций нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, анализ Фурье, теорию функций комплексной переменной и многие другие разделы высшей математики, где появляются пределы, производные и интегралы. С этой точки зрения анализ не завершен. Он по-прежнему развивается.
Но здесь я в меньшинстве. Фактически я его и составляю. Никто из моих коллег по математическому факультету не согласится с тем, что все это анализ, и не без оснований: это было бы абсурдно. Иначе половину курсов в учебной программе пришлось бы переименовать. Наряду с Анализом 1, 2 и 3, у нас был бы Анализ с 4 по 38[307]. Прямо скажем, не очень наглядно. Поэтому мы даем собственные названия каждой ветви анализа и затемняем непрерывную связь между ними. Мы разрезаем анализ на мелкие потребляемые части. Какая ирония, учитывая, что и сам анализ делит непрерывные вещи на части, чтобы облегчить их понимание. Позвольте уточнить: я не возражаю против разных названий курсов. Я всего лишь хочу сказать, что такая нарезка может ввести в заблуждение и заставить нас забыть, что все эти части взаимосвязаны и составляют нечто большее. Цель этой книги – показать анализ как единое целое, помочь ощутить его красоту, единство и величие.
Так что же ожидает анализ в будущем? Как говорится, предсказывать всегда трудно, особенно будущее[308], но я с уверенностью могу предположить, что в ближайшие годы будут преобладать следующие тенденции:
1. Новые приложения анализа к общественным наукам, музыке, искусству и гуманитарным дисциплинам.
2. Продолжение использования анализа в медицине и биологии.
3. Преодоление случайностей, присущих финансам, экономике и погоде.
4. Анализ на службе больших данных и наоборот.
5. Постоянная работа с нелинейностью, хаосом и сложными системами.
6. Развитие партнерства между анализом и компьютерами, включая искусственный интеллект.
7. Расширение границ анализа в квантовой области.
Это очень широкий охват. И, вместо того чтобы говорить понемногу о каждой из упомянутых тем, я сосредоточусь на некоторых из них. После краткого знакомства с дифференциальной геометрией ДНК, где тайна кривых встречается с тайной жизни, мы рассмотрим ряд исследований, которые, я надеюсь, вы сочтете представляющими интерес с философской точки зрения. К ним относятся проблемы прогнозов, связанные с увеличением хаоса, теорией сложности, компьютерами и искусственным интеллектом. Однако для того, чтобы все это обрело смысл, нам нужно рассмотреть основы нелинейной динамики. Изучение такого контекста позволит лучше понять стоящие перед нами задачи.
