q² = 2p'²
и, повторяя предыдущую цепь рассуждений, находим, что число q также четное и может быть выражено равенством q = 2q', где q' – целое число. Но тогда p/q = p'/q', и значит,
где p' и q' – целые числа, которые в два раза меньше p и q соответственно. А это противоречит исходному предположению, что p и q – наименьшие целые числа, для которых равенство (p/q)² = 2 справедливо. Мы имеем противоречие, и, следовательно, такие числа не могут существовать.
Теорема явным образом обобщается: любое число, например, 3, 5, 6 и т. д., которое само не является квадратом целого числа, не может быть квадратом рационального числа. Например, если 3 = (p/q)², где p и q – наименьшие целые числа, для которых это равенство справедливо, то p² = 3q², но это невозможно, если только нет такого целого p', для которого p = 3p', но тогда q² = 3p'², и q = 3q' для некоего целочисленного q', и, значит, 3 =(p'/q')², что противоречит предположению о том, что не существует целых чисел меньше p и q, для которых p2 = 3q2. Поэтому квадратные корни чисел 3, 5, 6, … иррациональны все.
Современная математика признает существование иррациональных чисел, таких как число, обозначаемое √2, квадрат которого равен 2. Если это число представить в виде десятичной дроби, то последовательность знаков такого числа продолжается до бесконечности, не повторяясь. Например, √2 = 1,414213562… И во множестве рациональных, и во множестве иррациональных чисел их количество бесконечно, но в каком-то смысле иррациональных чисел намного больше, чем рациональных, поскольку рациональные числа можно представить как бесконечную последовательность, включающую все рациональные числа:
1, 2, 1/2, 3, 1/3, 2/3, 3/2, 4, 1/4, 3/4, 4/3, …
тогда как перечислить все иррациональные числа никаким способом нельзя.
6. Установившаяся скорость падения
Чтобы понять, как наблюдения за падающими телами привели Аристотеля к его теории падения тел, мы можем воспользоваться физическим принципом, Аристотелю неизвестным, – Вторым законом Ньютона. Он говорит нам, что ускорение a тела (темп возрастания его скорости) равно частному от деления полной силы F, действующей на тело, на его массу m:
На тело, падающее в воздухе, действуют две основные силы. Одна из них – сила тяготения, пропорциональная массе падающего тела:
Fт = mg.
Здесь g – постоянная величина, не зависящая от того, какое именно тело падает. Оно обозначает ускорение свободного падения тела в вакууме и вблизи земной поверхности, приблизительно равное 9,8 м/с за секунду. Вторая сила – сопротивление воздуха. Она выражается функцией f (v), значение которой пропорционально плотности воздуха, увеличивается с ростом скорости и зависит от формы и размера тела, но не зависит от его массы:
