С тех пор, как Хзянь представил усовершенствованный вариант доказательства, между ним и его критиками шла непрекращающаяся борьба. Правильность предъявленного Хзянем усовершенствованного доказательства остается под вопросом. Во всяком случае, для того, кто хочет доказать гипотезу Кеплера, дверь остается открытой. В 1996 году Дуг Мудер изложил свое ви́дение ситуации вокруг доказательства Хзяня, обнаружив некую интригу:
«Недавно я вернулся с Совместной летней научно-исследовательской конференции по дискретной и вычислительной геометрии, состоявшейся в Маунт Холиоке под эгидой Американского математического общества, Института управленческих наук и Общества промышленной и прикладной математики. Такие конференции проводятся раз в десять лет, поэтому акцент делался на прогрессе, достигнутом за последние десять лет. Хзянь заявил о том, что ему удалось доказать гипотезу Кеплера шесть лет назад. Я обнаружил, что сообщество пришло к согласию по этому поводу: его доказательство "никто не покупает".
На пленарных лекциях и во время неформальных дискуссий неоднократно обсуждались следующие вопросы.
1. В статье Хзяня (опубликованной в "International Journal of Mathematics" в 1993 году) не содержится доказательства гипотезы Кеплера. В лучшем случае это набросок доказательства (на 100 страниц!), его общий ход. Таким доказательство могло бы быть.
2. Эта статья не может считаться даже наброском, так как к некоторым ее утверждениям обнаружены контрпримеры.
3. Столь же необосновано утверждение Хзяня о якобы найденном им доказательстве гипотезы о додекаэдре (и различных других ранее недоказуемых проблем упаковки шаров).
4. Работа над гипотезой Кеплера и гипотезой о додекаэдре должна продолжаться так, как если бы статьи Хзяня никогда не существовали.
В одной из лекций Габор Фейеш-Тот из венгерской Академии наук так отозвался о статье Хзяня: "Эту работу нельзя рассматривать как доказательство. Проблема по-прежнему остается открытой." Ему вторил Томас Хейлис из Мичиганского университета: "Проблема Кеплера остается нерешенной. Я не решил ее. Хзянь не решил ее. Насколько мне известно, никто не решил ее." (Хейлис предсказывал, что его собственный метод позволит решить проблему Кеплера "через год-другой".)
Самое интересное в этой истории — то, что один математик так и не присоединился к общему мнению, а именно сам Хзянь (он не был участником конференции). Хзянь был великолепно осведомлен о контрпримерах и о том, что специалисты не верят его утверждениям, но продолжал выступать с лекциями по всему миру, в которых не уставал снова повторять эти утверждения. Те математики, которым доводилось лично общаться с Хзянем (например, Хейлис и Бездек), считают, что Хзянь никогда не признавал, что в его статье имеются ошибки.
Именно по этой причине «пыль» оседала так медленно. Хзянь впервые заявил о том, что располагает доказательством гипотезы Кеплера в 1990 году, т. е. шесть лет назад. Публичные выступления Хзяня достаточно расплывчаты и неопределенны для того, чтобы быть правдоподобными. Через несколько месяцев после первых заявлений о том, что он располагает доказательством, когда появился первый препринт, в доказательстве сразу же были обнаружены пробелы, а вскоре последовали и контрпримеры. Но Хзянь упорно не прекращал лекционную деятельность, и это обстоятельство создавало впечатление, что он, по-видимому, справляется с теми возражениями, которые возникают. Объем его статьи и то, что текст доказательства претерпел несколько переработок до публикации, еще больше усиливали разноголосицу и неразбериху.
Случай с Хзянем показывает, до какой степени математики полагаются на представления о чести. Математическое сообщество исходит из предположения, что почтенные профессора из самых престижных университетов не станут делать скоропалительные, безосновательные заявления и откажутся от ошибочных утверждений, едва в них будет обнаружен пробел. Тот, кто нарушит сложившуюся систему, основанную на представлениях о профессиональной честности, породит смятение, которое будет длиться долго, так как ни у кого нет ни желания, ни времени следовать повсюду за нарушителем и опровергать его всякий раз, когда он будет высказывать ложные утверждения. (Представьте себе, какой объем работы потребовалось проделать Хейлису, чтобы написать свою разоблачительную статью, опубликованную в 1993 году на страницах журнала "Mathematical Intelligencer", и примите во внимание, что она ничего не дала для математической карьеры самого Хейлиса, — и вы поймете эту проблему. Хзянь опубликовал ответ на статью Хейлиса, но его доводы оказались совершенно несостоятельными. Хейлис счел, что критика ответа Хзяня означала бы вхождение в нескончаемый цикл, на продолжение которого у него просто нет времени.)
Хзянь мог позволить себе не признавать своих ошибок, но как обстояло с редколлегией "International Journal"? Ясно, что члены редколлегии оказались вовлеченными в процесс, который пошел не так, как предполагалось. Статья Хзяня не была прорецензирована должным образом, если вообще была прорецензирована. Ранее «Journal» не проявлял ни малейшего интереса к проблеме плотнейшей упаковки шаров. Было ясно, что Хзянь остановил свой выбор на "International Journal" не потому, что это было подходящее периодическое издание для публикации его статьи, а потому, что этот журнал издавали его друзья.
Кароль Бездек, который больше года работал в контакте с Хзянем, пытался заполнить пробелы в его доказательстве, и представил в «Journal» статью, содержащую контрпример одной из лемм Хзяня. Публикация статьи Бездека затянулась надолго — с декабря. Столь долгий срок бывает иногда необходим для рецензирования статьи, но не совсем обычен для контрпримера к самой разрекламированной статье, опубликованной в «Journal» за многие годы».
Доказательства на чипах
В первой схватке с Великой теоремой Ферма единственным оружием Уайлса были карандаш, бумага и чистая логика. И хотя его доказательство использует самые современные методы теории чисел, оно выдержано в лучших традициях Пифагора и Евклида. Но недавно появились зловещие признаки того, что доказательство Уайлса, возможно, стало одним из последних примеров классического доказательства, и будущие доказательства столь сложных проблем будут полагаться не столько на изящные рассуждения, сколько на грубую силу.
Первые признаки того, что некоторые называют упадком математики, появились в октябре 1852 года в Англии, когда Фрэнсис Гатри, который мог уделять математике лишь часть своего времени, предложил одну, на первый взгляд, безобидную задачу. Однажды, раскрашивая от нечего делать карту графств Британии, Гатри наткнулся на головоломку, которая показалась ему простой, хотя решить ее он так и не сумел. Гатри просто хотел узнать, каково минимальное число красок необходимо взять для раскраски любой мыслимой карты при условии, чтобы никакие две смежные области (имеющие общую границу) не оказались окрашенными в один и тот же цвет.
Например, для раскрашивания карты, изображенной на рисунке, трех красок недостаточно. Следовательно, для раскрашивания некоторых карт необходимы по крайней мере четыре краски. Гатри хотел узнать, окажется ли четырех красок достаточно для раскрашивания всех карт, или для некоторых карт могут потребоваться пять, шесть или больше красок.
