V(t) = V0 e-ct,
где e – основание натуральных логарифмов. Это подтверждало, что вирусная нагрузка в модели действительно снижалась экспоненциально. Наконец, подобрав экспоненту в соответствии с экспериментальными данными, Хо и Перельсон оценили ранее неизвестное значение скорости выведения c.
Для тех, кто предпочитает использовать производные, уравнение модели можно записать так:
Здесь dV / dt – это производная V. Она показывает, насколько быстро растет или падает концентрация вируса. Положительное значение производной означает повышение, отрицательное – снижение. Поскольку концентрация V положительна, величина – cV должна быть отрицательной, поэтому и производная должна быть отрицательной, что означает снижение концентрации, как и показал эксперимент. Кроме того, пропорциональность между dV / dt и V означает, что чем ближе V к нулю, тем медленнее спад. На интуитивном уровне это замедление спада V подобно тому, что происходит, когда вы наполняете раковину водой, а затем открываете сток. Чем меньше воды в раковине, тем медленнее она стекает, поскольку уменьшается давление воды, заставляющее ее течь. При такой аналогии количество вируса подобно количеству воды, а стекание – оттоку вируса в результате работы иммунной системы.
Смоделировав действие ингибитора протеазы, Перельсон и Хо скорректировали свое уравнение, чтобы описать условия до введения препарата. Они предположили, что уравнение будет иметь вид
В этом уравнении P означает исходный (не замедленный) темп репродукции вирусных частиц – еще один параметр, неизвестный в то время. Перельсон и Хо предполагали, что до введения ингибитора протеазы в каждый момент зараженные клетки продуцировали новые вирусные частицы, которые потом заражали новые клетки, и так далее. Именно возможность такого взрывного распространения и делает ВИЧ настолько разрушительным.
Однако на бессимптомной стадии, похоже, существует некое равновесие между воспроизводством вируса и его выведением иммунной системой. На этом установившемся уровне вирус размножается с такой же скоростью, как и выводится. Это позволило понять, почему вирусная нагрузка может не меняться годами. В аналогии с водой это подобно происходящему при одновременном открытии и крана, и стока. Вода достигает стабильного уровня, когда поступление жидкости равно ее оттоку.
Если на некотором уровне концентрация вируса не меняется, то ее производная должна быть равна нулю: dV / dt = 0. Следовательно, стабильная вирусная нагрузка удовлетворяет соотношению
P = cV0.
Перельсон и Хо использовали это простое уравнение, чтобы оценить жизненно важный параметр, который никто не мог измерить ранее: количество вирусных частиц, ежедневно удаляемых иммунной системой. Оказалось, что эта величина – миллиард вирусных частиц в день.
Число получилось неожиданно огромным и впечатляющим. Оно указывало на то, что во внешне, казалось бы, спокойные десять лет бессимптомной стадии в организме больного ежедневно происходит титаническая борьба. Каждый день иммунная система выводит миллиард вирусных частиц, а зараженные клетки порождают миллиард новых. Иммунная система вела яростную тотальную войну с вирусом и боролась с ним практически до полной остановки.
В 1996 году Хо, Перельсон и их коллеги провели полномасштабное исследование, чтобы лучше понять, что они, возможно, упустили в 1995 году. На этот раз они собирали сведения о вирусной нагрузке через более короткие интервалы времени после введения ингибитора протеазы, поскольку хотели получить больше информации о начальном запаздывании, которое наблюдалось при поглощении, распределении и проникновении препарата в клетки-мишени. После введения препарата исследователи измеряли вирусную нагрузку пациентов каждые два часа в течение шести часов, затем каждые шесть часов в течение двух суток, а потом один раз в день в течение недели. Перельсон усовершенствовал модель с дифференциальным уравнением, чтобы учесть запаздывание и отследить динамику еще одной важной переменной – изменяющегося количества зараженных T-лимфоцитов.
