«Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».
Здесь под «изменением количества движения» Ньютон имеет в виду изменение импульса[21], который он называет «количеством движения» в определении II. В действительности скорость изменения импульса пропорциональна этой силе. Традиционно мы определяем единицы, в которых измеряется сила, так, что скорость изменения импульса фактически равна силе. Поскольку импульс – это масса, умноженная на скорость, скорость его изменения – это масса, умноженная на ускорение. Таким образом, Второй закон Ньютона определяет, что масса, умноженная на ускорение, равна силе, деленной на ускорение. Но знаменитое равенство F = ma в «Математических началах» так и не появляется; таким образом Второй закон был сформулирован европейскими математиками в XVIII в.
Третий закон
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны».
В истинно геометрическом стиле Ньютон приводит серию следствий, выведенных из этих законов. Самое значимое среди них – следствие III, где формулируется закон сохранения импульса (см. техническое замечание 34).
Закончив с определениями, законами и следствиями, Ньютон в Книге I начинает делать из них выводы. Он доказывает, что только центральные силы (силы, направленные к одной точке в центре) заставляют тело двигаться так, чтобы за равные промежутки времени отсекать равные площади; что центральные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния и только такие центральные силы производят движение по коническому сечению, то есть по кругу, эллипсу, параболе или гиперболе; что при движении по эллипсу такая сила создает периоды, пропорциональные 3/2 длины большей оси эллипса (которая, как было упомянуто в главе 11, является усредненным по всей протяженности ее пути расстоянием от планеты до Солнца). Таким образом, центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, отвечает за все три закона Кеплера. Также Ньютон заполняет пробелы в своем сравнении центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения, доказывая в отделе XII части I книги, что сферическое тело, состоящее из частиц, каждая из которых производит силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния, производит общую силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния до центра сферы.
В конце отдела I Книги I содержится примечательное «Поучение», в котором Ньютон отмечает, что он больше не полагается на понятие бесконечно малых величин (исчезающих количеств). Он объясняет, что «флюксии», такие как скорости, не являются отношениями бесконечно малых величин, как он ранее описывал их, но вместо этого: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, чем на любую наперед заданную разность»{262}. Это, в сущности, современная идея предела, на которой сегодня основывается математический анализ. Единственное, что несовременно в «Математических началах», так это мысль Ньютона о том, что пределы должны изучаться методами геометрии.
Книга II представляет собой длинное описание движения тел в жидкости, главная цель которого – определение законов, управляющих силами сопротивления для таких тел{263}. В этой книге Ньютон развенчивает теорию вихрей Декарта. Затем он переходит к расчету скорости звуковых волн. Его результат в Предложении 49 (о том, что скорость является квадратным корнем из отношения давления и плотности) верен только по порядку величины, поскольку в то время никто не знал, как учитывать изменения температуры во время расширения и сжатия. Но вместе с расчетами скорости океанских волн это было вызывающим интерес достижением – впервые в истории кто-то воспользовался законами физики, чтобы обеспечить более или менее реалистичный расчет скорости волн какого-либо вида.
