Общепринято выражать такие взаимоотношения при помощи математических символов. При таком способе мы не привносим в них ничего существенно нового. Используя математические символы, мы выражаем именно то, что мы хотели бы сказать словами, но более кратко и более общо. Математика — язык стенографии, в котором каждый символ имеет точное и согласованное значение. Как только язык изучен, мы понимаем, что это, в конце концов, всего лишь одна из форм английского языка.
Например, мы только что рассмотрели случай ускорения 4 фт/с2 (из состояния покоя). Это означает, что в конце первой секунды скорость объекта равна 4 фт/с, после двух секунд — 8 фт/с, после трех секунд — 12 фт/с и так далее. Короче говоря, скорость равна ускорению, умноженному на время. Если мы обозначим скорость символом v, а время — символом t, мы можем сказать, что в этом случае v равна 4t.
Но фактическое ускорение зависит от угла, под которым отклонена наклонная плоскость. Если наклонная плоскость сделана более крутой, это приведет к увеличению ускорения; если сделать ее менее крутой, то ускорение уменьшится. Для любой данной плоскости ускорение постоянно, но специфическое значение константы может очень измениться от плоскости к плоскости. Позвольте нам поэтому не привязываться к конкретному числовому значению ускорения, давайте просто обозначим это ускорение символом а. Тогда мы можем сказать:
v = at. (Уравнение 2.1)
Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с2 — единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at, мы умножаем 4 фт/с2 на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b2 на b), получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а) на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.
В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).
Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at) и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2. Расстояние (d), которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt. Поэтому мы можем написать, что
d = at2/2, (Уравнение 2.2)
Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а) — фт/с2, а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at2 — (фт/с2) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с2)/с2, упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at2 не изменяется, так же как с2, так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at2/2 — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d)[7].
Свободное падение
Как я сказал ранее, значение ускорения (а) шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.
В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение а находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как Н, а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как а ∞ gH/L. Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».
В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если H/L удваивается, то удваивается и а; если H/L делится пополам, то пополам делится и а; если H/L умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения а значение H/L оказывается равным одной трети a. Если значение а изменяется каким-либо способом, значение H/L изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения а. В этом специфическом случае а — в три раза больше H/L, причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.
Общее правило таково: если один член пропорции x находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена y, мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить у, чтобы получить х. Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно k (от немецкого слова «Konstant»). Поэтому мы можем сказать, что если (x ~ y), то x = ky.
Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно k. Например, скорость шара, катящегося из состояния покоя, находится в прямой пропорциональной зависимости от времени t, в течение которого он катился, а расстояние, на которое он переместился, d находится в прямой пропорциональной зависимости от квадрата того же времени; поэтому v ~ t и d = (at2)/2. В первом случае» однако, мы приняли для коэффициента пропорциональности специальное название — «ускорение» — и обозначили его a, в то время как во втором случае взаимосвязь с ускорением такова, что мы обозначили коэффициент пропорциональности как a/2. Таким образом, мы имеем, что v = at и d = (at2)/2.
