ориентированной таким образом, чтобы движение тела определялось только изменением времени, (будем назвать ее «движущейся») можно определить функцию Лагранжа в виде: , что, с учетом постоянства скорости света, позволяет обеспечить соблюдение требования о равномерности данного движения. Коэффициент пропорциональности в виде единицы выбран, исходя из соображений перехода уравнений релятивистской динамики в динамику Ньютона, что будет видно из дальнейшего.
При определении функции Лагранжа в четырехмерных системах координат, не связанных с условием движения тела только по временной координате, необходимо учесть, что в них по сравнению с системой, где движение тела происходит только по временной координате, используются иные величины пространственных координат и для одного и того же инвариантного интервала. И движение тела, принадлежащего системе координат , наблюдается в лабораторной системе , в которой наблюдатель считает себя неподвижным, а тело движущимся не только по временной координате. При этом различие координатных сеток заключается в единицах измерения для при наличии условия связи между ними , позволяющего сравнивать эти сетки. Применительно к системе уравнений Эйлера-Лагранжа это означает, что , (так как , а ), а коэффициент определяет отношение измеренных с помощью одной и той же единицы длины размеров одной из сторон аналогичных ячеек в координатных сетках (их сравнительный масштаб). В то же время описание разных способов движения тела осуществляется сторонним наблюдателем с помощью единственно доступного ему метрического эталона (одинаковых ячеек). И ему вовсе необязательно использовать две различные системы отсчета, поскольку он видит движение тела только по своей координатной сетке, но не связанную с движущимся телом сетку. А так как наблюдатель не видит другую систему отсчета и руководствуется своими размерами ячеек, то эффект, определяемый различием масштабов сравниваемых систем координат, является для него целиком и полностью следствием различий в определении функции Лагранжа. В этом случае необходимой для учета разных способов описания движения тела процедурой замены переменных в системе уравнений Эйлера-Лагранжа является замена функции Лагранжа системы отсчета, где тело движется только по временной координате, на ее «масштабированное» выражение лабораторной системы координат при использовании (сохранении) единственно доступных наблюдателю независимых переменных. А поскольку функция Лагранжа свободно движущегося тела не может зависеть от координат, в том числе и от , то является справедливым утверждение, что , и общее выражение функции Лагранжа в этом случае имеет вид:
.
Тот же самый результат может быть получен, если действие определяется разными наблюдателями для своих четырехмерных пространств. Поскольку используемые нами четырехмерные системы координат являются неподвижными относительно друг друга, то и действие S для них является одним и тем же. А так как между указанными системами существует взаимосвязь, устанавливаемая через независимые времена трехмерных инерциальных систем отсчета, являющихся отображением четырехмерных систем координат в трехмерном пространстве, то это самое действие можно определить для разных четырехмерных систем с помощью указанных независимых времен для трехмерных систем отсчета. В этом случае . Следовательно, переходя от действия к функции Лагранжа на основе известной зависимости между ними, сразу же видно, что а .
Определять выражение для энергии по интегралу движения в четырехмерном пространстве нет ни практической необходимости, ни возможности, так как для этого пространства нет точного понимания, что собой представляют собственно четырехмерное движение и состояние покоя.
Для того чтобы найти выражение для функции Лагранжа в трехмерном пространстве, необходимо обратить внимание на следующее.
Движение тела только по временной координате определяет его кинетическую энергию как при отсутствии внешнего потенциального поля. И, учитывая, что обе используемые нами четырехмерные системы координат являются неподвижными, можно считать, что величина является сохраняющейся при движении теле по временной координате любой четырехмерной системы координат независимо от того, есть в ней движение тела по остальным пространственным координатам или нет. Тогда, учитывая, что кинетическая энергия является скалярной величиной, в выражении для функции Лагранжа четырехмерного пространства можно выделить трехмерную пространственную составляющую кинетической энергии:
И именно эту функцию может и должен применять неподвижный (лабораторный) наблюдатель, использующий трехмерную систему координат. А введенное Эйнштейном выражение является определением величины скрытой от непосредственного наблюдения кинетической энергии движения тела по временной координате, то есть «внутренней» энергией покоя тела в трехмерном пространстве.
Для того, чтобы использовать выражение четырехмерного интеграла движения в трехмерном пространстве необходимо основываться на независимом времени этого трехмерного пространства и трехмерной же скорости вместо четырехмерной скорости . Поскольку вместо производной необходимо использовать производную , следует учесть, что единицы измерения времени в лабораторной и движущейся системах координат для неподвижного наблюдателя количественно различаются. А так как течение времени в движущейся системе координат принято нами совпадающим с ходом времени собственного, и , то производная может быть заменена на с учетом отношения разных единиц измерения времени, которое равно to . А это значит, что уравнение для интеграла движения должно быть записано в виде Здесь .
Прямая подстановка выражения в указанное уравнение интеграла движения показывает, что кинетическая энергия свободно движущегося тела для наблюдателя из трехмерной лабораторной системы координат равна функции Лагранжа, определяющей движение тела, несмотря на то, что в отличие от классической механики данная функция является неоднородной.
Определением механического импульса в четырехмерном пространстве является выражение . Данное выражение нельзя непосредственно использовать для трехмерного пространства, так как мы имеем дело с различными независимыми переменными, отвечающими за течение времени в этих пространствах. Поэтому в правую часть данного определения необходимо ввести добавочный коэффициент , учитывающий изменение выражения для интеграла движения при замене одного независимого времени на другое. Кроме того, надо учесть, что замена скорости в выражении импульса для четырехмерного пространства не может быть осуществлена только заменой символов. Изменение единиц измерения времени должно быть учтено также и при замене скорости , определенной с помощью единиц измерения времени собственного, на трехмерную скорость , определяемую с помощью единиц измерения времени в лабораторной системе координат. Как это было отмечено выше, при определении выражения для интеграла движения в трехмерном пространстве должно быть учтено изменение размерности единиц измерения скорости в различных (по количеству переменных) системах координат , учитывающее изменение размерности единиц измерения времени. Поэтому в формуле для механического импульса необходимо использовать величину вместо переменной .
Что же касается функции Лагранжа, то изменение размерности единиц измерения времени при переходе от одной системы координат к другой системе учитывается путем
