Последовательность Фибоначчи называется так потому, что ее члены впервые появились в написанной Фибоначчи книге «Liber Abaci», в связи с задачей о кроликах. Однако свое имя эта последовательность приобрела лишь через более чем 600 лет после выхода книги — в 1877 году, когда ее изучал теоретико-числовик Эдуар Люка. Именно он решил воздать должное Фибоначчи, назвав последовательность его именем.
В книге «Liber Abaci» эта последовательность возникла из следующей задачи. Пусть у нас имеется пара кроликов, которая через месяц дает потомство — появляется еще пара кроликов. Если у каждой взрослой пары кроликов каждый месяц появляется потомство — пара крольчат, — а крольчатам требуется один месяц, чтобы стать взрослыми, то сколько кроликов получится от первой пары через год? Ответ на этот вопрос можно получить, пересчитывая кроликов из месяца в месяц. В первый месяц имеется всего одна пара. В второй месяц — две, поскольку исходная пара произвела новую. На третий месяц имеется три пары, потому что исходная пара снова размножилась, но другая пара лишь достигла зрелости. На четвертый месяц обе пары взрослых кроликов размножились, что добавит двойку к имеющейся тройке. Последовательность Фибоначчи — это полное число пар, подсчитанное месяц за месяцем:
Полное число пар 1-й месяц: 1 взрослая пара 1
2-й месяц: 1 взрослая пара и 1 пара крольчат 2
3-й месяц: 2 взрослые пары и 1 пара крольчат 3
4-й месяц: 3 взрослые пары и 2 пары крольчат 5
5-й месяц: 5 взрослых пар и 3 пары крольчат 8
6-й месяц: 8 взрослых пар и 5 пар крольчат 13
Важное свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что она рекуррентная, — то есть каждый новый член порождается предыдущими. Это же помогает понять, почему числа Фибоначчи настолько распространены в природе. Многие живые организмы растут, следуя рекуррентному процессу.
* * *
Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:
F0 = 0.
F1 = 1.
F6 = 8,
F11 = 89,
F16 = 987,
F2 = 1.
F7 = 13,
F12 = 144.
F17 = 1597,
F3 = 2,
F8 = 21,
F13 = 233,
F18 = 2584,
F4 = 3,
F9 = 34,
F14 = 377,
F19 = 4181,
F5 = 5,
F10. = 55,
F15 = 610,
F20 = 6765.
При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F3, F6, F9 — другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F4, F8, F12 — то есть каждое четвертое F-число — делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.
Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/F11, то есть 1/89. Это число равно сумме чисел
0,0
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
0,0000000034
Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи[51].
А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F-числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.
Для F4, F5, F6 имеем F4 × F6 = F5 × F5 - 1 (24 = 25 - 1).
Для F5, F6, F7 имеем F5 × F7 = F6 × F6 +1 (65 = 64 + 1).
Для F18, F19, F20 : F18 × F20 = F19 × F19 - 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).
Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F-числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:
