Книга Рискуя собственной шкурой. Скрытая асимметрия повседневной жизни - Нассим Николас Талеб

Рассмотрим чрезвычайно упрощенный пример: дана последовательность независимых случайных переменных (область определения – положительные вещественные числа. Теоремы сходимости классической теории вероятностей определяют поведение суммы или среднего как lim по (слабому) закону больших чисел (сходимость по вероятности). Как показано в примере с казино в главе 19, когда n стремится к бесконечности, оно сходится по вероятности к истинной средней отдаче m. Хотя закон больших чисел применим к набору событий i, строго различимых во времени, он допускает (некоторую) независимость – и, конечно, независимость от пути.

Теперь рассмотрим последовательность, в которой каждому параметру состояния присвоен индекс момента времени t: 0 < t < T. Допустим, что «моменты времени» взяты из точно такого же распределения вероятностей: P() = P.

Определим вероятность по времени как эволюцию во времени для отдельного агента i.

В присутствии конечной, то есть необратимой катастрофы всякое последующее наблюдение зависит от некоего свойства предыдущего: то, что происходит в момент t, зависит от t – 1, то, что происходит в момент t – 1, зависит от t – 2 и так далее. Мы установили зависимость от пути.

Теперь сформулируем исчезновение эргодичности:

Теорема 1 (неравенство континуума состояний). Пусть и – ожидание по пространству состояний для статического начального периода t, а – ожидание по времени для всякого агента i, обе формулы получены через слабый закон больших чисел. Тогда:

Доказательство:

,

где – индикаторная функция, требующая выживания в предыдущий период. Границы n для t показывают уменьшение ожидания по времени:.

На деле мы можем доказать и расхождение.

Как можно видеть, если T < ∞, по закону повторных ожиданий мы получаем неравенство для всех Т.