Мало кто знает, что известный экономист Джон Кейнс, изучая теорию вероятностей, придумал мысленный эксперимент, демонстрирующий важность учета начальных шансов при оценке последствий. В этом упражнении он просил представить, что вы играете в покер с архиепископом Кентерберийским, который в первом круге сдает себе роял-флеш[222]. Следует ли нам подозревать его в жульничестве?
отношение правдоподобия = вероятность комбинации роял-флеш при условии, что архиепископ жульничает / вероятность комбинации роял-флеш при условии, что архиепископу просто повезло.
Будем считать, что числитель равен единице, а вероятность в знаменателе можно вычислить как 1 / 72 000[223]. Тогда отношение правдоподобия составит 72 000, что, согласно стандартам из табл. 11.2, означает «очень сильное подтверждение», что архиепископ жульничает. Но должны ли мы делать этот вывод? Как говорит теорема Байеса, апостериорные шансы равны произведению отношения правдоподобия на априорные шансы. Кажется разумным предположить, что (по крайней мере, пока мы не начали играть) шансы на то, что архиепископ не жульничает, крайне высоки, возможно, миллион против 1, учитывая его высокий духовный сан[224]. Поэтому произведение таких шансов и отношения правдоподобия даст нам 72 000 / 1 000 000, то есть примерно 7 к 100, что соответствует вероятности 7/107, или 7 %, что он жульничает. Таким образом, на этом этапе мы можем себе позволить дать ему кредит доверия (чего не сделали бы по отношению к человеку, с которым, скажем, только что столкнулись в пабе). И, возможно, нам надо держать ухо востро во время игры с архиепископом!
Байесовские статистические выводы
Теорема Байеса, даже если она и не разрешена в британских судах, – это научно корректный способ менять наше мнение на основании новых фактов. Ожидаемые количества делают байесовский анализ достаточно простым для несложных ситуаций, где есть всего две гипотезы, например, заболел человек или не заболел, совершил преступление или не совершил. Однако все усложняется, когда мы хотим применить эти же идеи к выводам относительно неизвестных величин, которые могут принимать целый диапазон значений, таких как параметры в статистических моделях.
Оригинальная работа преподобного Томаса Байеса, опубликованная в 1763 году, давала ответ на один очень простой вопрос: если известно, что нечто произошло или не произошло определенное количество раз, то какова вероятность, что это произойдет в следующий раз?[225] Например, если канцелярскую кнопку подбросили 20 раз и она 15 раз упала острием вверх, а 5 раз – острием вниз, то чему равна вероятность ее падения острием вверх в следующий раз? Возможно, вы подумаете, что ответ очевиден: 15 / 20 = 75 %. Однако ответ преподобного был бы другим – 16 / 22 (73 %). Как бы он к нему пришел?
