Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.
Приблизительный подсчет в уме. Деление в уме
Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:
а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?
И чуть посложнее:
б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное число на пятизначное?
В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от знания того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)
Ответ на вопрос (а) – из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример – 100 × 100 = 10 000 (здесь пять цифр). Максимальный – 999 × 999, результат которого однозначно будет меньше семизначного 1000 × 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного). Но раз 999 × 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте, кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = (1000 × 998) + 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти– или шестизначное число.
Ответ на вопрос (б) – из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число – 1000, которое можно представить в виде 10³ (единица с тремя нолями). Наименьшее пятизначное число – 10 000, равное 104. Следовательно, наименьшим произведением 10³ и 104 будет 107 – единица с семью нолями, восьмизначное число. (Откуда взялось 107? Смотрите: 10³ × 104 = (10 × 10 × 10) × (10 × 10 × 10 × 10) = 107.) Ну а наименьшим произведением будет число, лишь ненамного меньшее десятизначного 104 × 105 = 109, то есть девятизначное.
Такая логика приводит нас к простому правилу: умножение m-значного числа на n-значное даст число, в котором m + n или m + n – 1 знаков.
