Правда, что некоторые разделы современной математики дьявольски трудны, но занимающиеся ею вовсе не стремятся держать нас во тьме неведения, а находятся в постоянном поиске новых идей, способных пролить свет на будущие события.
Как математика спасла Тинтина
В созданной Эрже книге комиксов «Храм Солнца» молодой бельгийский репортер Тинтин попадает в плен к племени инков после того, как очутился внутри храма Солнца. Инки приговаривают Тинтина и его друзей – капитана Хэддока и профессора Турнесоля – к смертной казни путем сожжения на костре. Индейцы собирались разжечь огонь с помощью увеличительного стекла, фокусирующего лучи Солнца. Но Тинтину было позволено выбрать время их смерти. Может ли Тинтин воспользоваться этой последней милостью, чтобы спасти себя и своих друзей?
Тинтин выполнил математический расчет и понял, что через несколько дней на этой части Земли должно произойти солнечное затмение, поэтому он решил выбрать время казни, совпадающее с затмением. (На самом деле вычисления сделал кто-то другой, Тинтин увидел предсказание в газетной вырезке.) За несколько мгновений до начала затмения Тинтин воскликнул: «Бог Солнца не услышит ваши молитвы! O великое Солнце, если ты желаешь, чтобы мы жили дальше, дай нам знак!» Как предсказала математика, Солнце исчезло, и повергнутое в ужас племя освободило Тинтина и его друзей.
Математика – это наука улавливания закономерностей, вот почему она наделяет нас возможностью заглянуть в будущее. Первые астрономы, наблюдающие за ночным небом, вскоре поняли, что движение Луны, Солнца и планет повторяется. Многие культуры воспользовались этими небесными закономерностями, чтобы вести счет времени. Однако имеется множество разнообразных календарей, потому что в своем небесном танце Луна и Солнце подчиняются умопомрачительному синкопированному ритму. Но все эти календари объединяет роль математики, с помощью которой постигаются циклы Луны и Солнца, используемые для измерения времени. Весьма любопытно и значение числа 19 для определения того, когда празднуются переходящие праздники, такие как Пасха.
Фундаментальная единица времени, общая для всех этих календарей, – сутки, в которых 24 часа. Но это не то время, которое требуется Земле для совершения одного оборота вокруг своей оси, – на это уходит чуть меньше, 23 часа 56 минут 4 секунды (звездные сутки). Если бы мы использовали этот чуть более короткий промежуток времени в качестве суток, у наших часов и Солнца наступала бы все большая рассинхронизация, и наконец эта ежедневная разность в 3 минуты 56 секунд накопилась бы так, что полдень наступил бы в полночь. Поэтому в целях хронометрии мы определяем сутки – или солнечные сутки, если использовать правильный термин, – как время, по прошествии которого Солнце возвращается в ту же позицию на небе для наблюдателя, находящегося в фиксированном месте на поверхности Земли. После одного оборота вокруг своей оси Земля проходит примерно 1/365 часть своей орбиты вокруг Солнца, поэтому требуется еще приблизительно 1/365 часть оборота, или 1/365 суток по времени – около 3 минут 56 секунд, – чтобы Солнце вернулось в прежнюю точку на небосводе.
Если быть более точным, Земля проходит свою орбиту вокруг Солнца за 365,2422 солнечных суток. Григорианский календарь, используемый в большинстве стран, основан на хорошем приближении этого цикла. Поскольку 0,2422 – это почти четверть, прибавляя каждый четвертый год к календарю один день, мы приходим к хорошему согласованию с движением Земли по орбите вокруг Солнца. Однако необходимы дальнейшие коррекции, ведь 0,2422 не совсем 0,25: каждый год, кратный 100, не является високосным, а раз в четыреста лет мы пропускаем пропуск и сохраняем високосный год (так было в 2000 г.).
А в исламском календаре вместо этого используются циклы Луны. В нем основной единицей является лунный месяц, а год состоит из 12 таких месяцев. Лунный месяц, начало которого определяется новолунием в Мекке, состоит из приблизительно 29,53 суток. Поэтому лунный год на 11 дней короче, чем солнечный год. Если разделить 365 на 11, то получится приблизительно 33, поэтому месяц Рамадан совершает цикл по солнечному году за 33 года. Вот почему происходит смещение Рамадана, если пользоваться григорианским календарем.
Еврейский и китайский календари объединяют движение Земли по орбите вокруг Солнца и циклы лунной орбиты вокруг Земли. Они достигают этого прибавлением високосного месяца, что в грубом приближении происходит каждый третий год. Ключом к расчетам является волшебное число 19. 19 солнечных лет (= 19 × 365,2422 суток) почти в точности равны 235 лунным месяцам (= 235 × 29,53). В китайском календаре имеется 7 високосных лет в каждом 19-летнем цикле, чтобы синхронизировать лунный и солнечный календари.
Число 19, наверное, было важным и в вычислениях Тинтина, потому что последовательность затмений Луны и Солнца также повторяется через 19 лет. Этот эпизод «Храма Солнца» основывается на знаменитом случае в истории, когда мореплаватель Христофор Колумб воспользовался лунным (а не солнечным) затмением, чтобы спасти свой экипаж, оказавшийся в трудном положении на Ямайке в 1503 г. Местные жители сначала были настроены дружелюбно, но затем стали враждебны и отказывались снабдить Колумба и его экипаж продовольствием. Над его людьми нависла угроза голода, и Колумб придумал хитрый план. Он обратился к альманаху – книге, содержавшей предсказания приливов, лунных циклов и положений звезд, которые моряки использовали для навигации, – и обнаружил, что 29 февраля 1504 г. должно состояться лунное затмение. Колумб созвал местных жителей за три дня до события и высказал угрозу: если они не обеспечат моряков провизией, то он заставит Луну исчезнуть.
Когда произойдет следующее затмение?
Если вы знаете, когда настанет какое-либо затмение, то можете воспользоваться математическими уравнениями, чтобы определить время другого из них. Вычисления зависят от двух важных чисел. Первое из них – 29,5306, длительность синодического месяца в сутках, обозначим это число как S. Синодический месяц представляет среднее время, за которое Луна обходит вокруг Земли и возвращается к прежнему положению по отношению к Солнцу. Он совпадает со средним временем между двумя новолуниями.
Другое число (D) – драконический месяц, в котором 27,2122 суток. Плоскость орбиты Луны вокруг Земли немного наклонена по отношению к плоскости орбиты Земли вокруг Солнца (эклиптики). Две точки пересечения лунной орбиты с плоскостью эклиптики называются узлами лунной орбиты и показаны на рисунке ниже.
Рис. 5.01. Орбита Луны пересекает плоскость эклиптики в двух точках, называемых восходящим и нисходящим узлом
Драконический месяц – это среднее время, за которое Луна, начиная движение с одного из узлов, проходит другой и возвращается в прежний узел.
Предположим, вы нашли пару целых чисел A и B, таких, что A × S очень близко к B × D. Тогда знайте, что через A × S ≈ B × D дней после увиденного затмения будет другое затмение. И будет еще одно затмение спустя последующие A × S ≈ B × D дней. Эта последовательность затмений будет продолжаться какое-то время, но затем, поскольку уравнение не выполняется точно, затмения станут все менее впечатляющими. Наконец Солнце, Луна и Земля уже не будут расположены должным образом, что будет означать окончание данного цикла затмений.
