Вызов Бернулли
Компетентные инвесторы гордятся своей способностью определять правильную цену финансовых заявок. Эта способность является сутью инвестирования: рынок – лишь средство для обмена денег на будущие заявки и наоборот.
Хорошо, вот вам ситуация для оценки: предположим, некто подбрасывает безукоризненную монету. Если она упадет кверху орлом, вы получаете $2 и игра заканчивается. Если же решкой, монету бросают снова. Если при втором броске выпадет орел, вы получаете $4, если решка – игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается (то есть $2, $4, $8, $16 и т. д.), и вы переходите на следующий круг, пока не выпадет орел. Сколько бы вы заплатили за право сыграть в такую игру?
Даниил Бернулли, выходец из семьи выдающихся математиков, представил эту проблему перед Императорской академией наук в 1738 г.1 Игра Бернулли, известная как санкт-петербургский парадокс, бросает вызов классической теории, которая говорит, что справедливый взнос за участие в игре равен ожидаемой ценности. Однако ожидаемая ценность в этой игре бесконечна. Каждый круг приносит выигрыш в $1 (вероятность 1/2n и выигрыш в $2n, или 1/2 × $2, 1/4 × $4, 1/8 × $8 и т. д.). Следовательно, ожидаемая ценность = 1 + 1 + 1 + 1… = ∞.
Естественно, очень немногие захотели бы заплатить даже $20, чтобы сыграть в такую игру. Бернулли попробовал объяснить этот парадокс предельной полезностью денег. Он утверждал, что сумма денег, которую человек готов заплатить за участие в игре, зависит от его ресурсов, – чем больше у вас денег, тем больше вы готовы заплатить. Однако объяснение Бернулли не вполне удовлетворительно. Санкт-петербургский парадокс уже два с половиной столетия заставляет размышлять над ним философов, математиков и экономистов2.
Если оставить в стороне философские моменты, санкт-петербургский парадокс проливает свет на две актуальные для инвесторов проблемы. Первая – распределение доходности на фондовом рынке не соответствует модели, принятой в стандартной финансовой теории. Это отклонение от теории особенно важно в таких областях, как управление рисками, эффективность рынков и индивидуальный выбор акций.
Вторая проблема касается оценки акций роста. Сколько вы готовы заплатить сегодня за акции с низкой вероятностью очень высокого выигрыша? В мире, где стоимость и доходность подвержены резким скачкам, этот вопрос становится насущным как никогда.
Что значит «нормальный»?
Распределения цены актива имеют большое практическое значение для портфельных менеджеров. Стандартная финансовая теория предполагает, что изменения цены активов следуют нормальному распределению, имеющему форму хорошо известной колоколообразной кривой. Это предположение верно бо́льшую часть времени, что позволяет аналитикам использовать очень робастные (устойчивые) вероятностно-статистические методы оценки. Например, для выборки, подчиняющейся нормальному распределению, вы можете рассчитать среднее значение и охарактеризовать вероятный разброс значений относительно среднего.
Однако многое в природе, включая сотворенный человеком фондовый рынок акций, не соответствует понятию «нормальный»3. Многие природные системы имеют две определяющие характеристики: большее число меньших по величине частей и подобные друг другу части в разных масштабах. Например, дерево имеет большой ствол и множество меньших по размеру веток, при этом маленькие ветви подобны большим. Такие системы называются фрактальными. В отличие от нормального распределения никакая средняя величина не характеризует фрактальную систему. В приложении 32.1 визуально сравниваются нормальная и фрактальная системы и приведены графики плотности распределения вероятностей, соответствующие этим данным. Фрактальные системы подчиняются степенным законам4.
