Структуры, связанные с этим квадратом, вызывают изумление, и чем дольше смотришь, тем больше их видишь. Сумма квадратов чисел из первой и второй строчек равна 748. То же самое число получается путем сложения квадратов чисел в строках 3 и 4, или квадратов чисел в строках 1 и 3, или же квадратов чисел в строках 2 и 4, или, наконец, квадратов чисел на каждой из диагоналей. Ничего себе!
Не меньшее изумление вызывает то, что получается, если повернуть магический квадрат Дюрера на 180 градусов, а затем вычесть 1 из клеток, содержащих числа 11, 12, 15 и 16. Результат будет таким:
Квадрат, показанный на рисунке, расположен на стене кафедрального собора Саграда Фамилия в Барселоне, построенного по проекту Антонио Гауди. Квадрат Гауди не магический, поскольку два числа в нем повторяются, но и столбцы, и строки, и диагонали в нем все суммируются к числу 33 — возрасту Христа к моменту его смерти.
Немало времени можно провести, забавляясь с магическими квадратами и восхищаясь их структурой и гармонией. На самом деле ни одна другая область непрактической математики не привлекала столько любителей математики на протяжении столь многих лет. В XVIII и XIX веках литература по магическим квадратам расцвела пышным цветом. Одним из самых именитых энтузиастов был Бенджамин Франклин. В молодости он забавлялся составлением магических квадратов, пытаясь скрасить скучные часы на службе в Законодательном собрании штата Пенсильвания. Самый известный его квадрат имеет размер 8 × 8 (см. рис.), и считается, что он придумал его еще мальчишкой.
В этом квадрате Франклин воплотил одно из своих собственных изобретений, касающееся развития теории магических квадратов: «ломаную диагональ», которая учитывает суммы чисел в черных клетках и суммы чисел в серых клетках, как показано на рисунках А и В ниже. Хотя квадрат Франклина не является собственно магическим, поскольку сумма чисел по основным диагоналям не составляет 260, его новое изобретение — половинные диагонали — суммируются именно таким образом. Суммы чисел по черным клеткам на рисунках С, D и E, сумма чисел по серым клеткам на рисунке E и, конечно, суммы по каждой строке и каждому столбцу — все они равны 260.
Квадрат Франклина содержит и еще более хитроумные симметрии. Сумма чисел в каждом из подквадратов 2 × 2 равна 130, и такова же сумма любых из четырех чисел, расположенных равноудаленно от центра. Считается, что Франклин изобрел еще один квадрат, когда ему было уже за сорок. Потратив всего один вечер, он составил невероятный квадрат размером 16 × 16, который, по его утверждению, был «самым магически магическим из всех магических квадратов, когда-либо созданных магами». (Он приведен в приложении 3 на веб-сайте, посвященном данной книге.)
Одна из причин непреходящей популярности составления магических квадратов заключается в том, что их оказывается неожиданно много. Попробуем пересчитать их, начиная с наименьшего: имеется ровно один магический квадрат размера 1 × 1 — это просто число 1. Магических квадратов, составленных из четырех чисел в формате 2 × 2, нет. Далее имеется восемь способов расположить цифры от 1 до 9 так, чтобы получился магический квадрат 3 × 3, но каждый из этих восьми квадратов на самом деле получен из одного-единственного квадрата операциями поворота или отражения, так что разумно считать, что имеется лишь один магический квадрат 3 × 3. На рисунке показаны все имеющиеся возможности.
После тройки число возможных магических квадратов возрастает невероятно быстро. Даже после редукции, учитывающей вращения и отражения, оказывается возможным построить 880 магических квадратов размером 4 × 4. В формате 5 × 5 число магических квадратов равно 275 305 224 — этот результат был получен только в 1973 году с использованием компьютера. И хотя число это кажется астрономически большим, на самом деле оно ничтожно по сравнению с числом всех возможных расстановок цифр от 1 до 25 в магическом квадрате размером 5 × 5. Полное количество возможных расположений можно вычислить, умножая 25 на 24, потом на 23 и т. д. до 1, что примерно составляет число, записываемое как 1,5 с 25 нулями, то есть 15 септилионов.
Число магических квадратов 6 × 6 неизвестно, хотя вероятно, что оно есть нечто близкое к 1 с 19 нулями. Это число настолько огромно, что превосходит даже полное число пшеничных зерен на шахматной доске в задаче, рассмотренной выше.
* * *
Надо сказать, что не только математики-любители увлекались магическими квадратами. В конце своей жизни ими заинтересовался и выдающийся швейцарский математик Леонард Эйлер[42]. (Он к тому времени практически полностью ослеп, из-за чего его исследования в области, существенным образом использующей пространственное расположение чисел, представляются особенно впечатляющими.) В частности, он изучал модифицированный вариант магического квадрата, в котором каждое число или символ появляется только один раз в каждой строке и каждом столбце. Он назвал такие квадраты «латинскими».
Латинские квадраты
В отличие от магических квадратов латинские квадраты имеют несколько практических применений. Их можно использовать для составления графика спортивных турниров, проводимых по круговой системе, когда каждая команда должна сыграть с каждой, а также в сельском хозяйстве в качестве удобного средства, позволяющего фермеру испытать, например, несколько различных удобрений на участке земли и узнать, какое из них дает наилучшие результаты. Если у фермера, скажем, пять продуктов, подлежащих проверке, и он разбивает землю в квадрат 5 × 5, то размещение каждого из продуктов по латинскому квадрату гарантирует, что всякое изменение в характере почвы окажет одинаковое влияние на каждое средство.
