Вещественное число называется вычислимым, если существует некоторый алгоритм, при помощи которого можно получить десятичное представление этого числа с любой заданной точностью.
Рациональные числа вычислимы, потому что их десятичное представление либо конечно, либо бесконечно, но периодично и получается при помощи старой доброй операции деления.
Число 0,232233222333222… также вычислимо, потому что можно легко найти его десятичное представление любой длины. Примечание: это число не рационально! Не хотите ли доказать это утверждение?
Алгебраические числа также вычислимы, потому что существуют разные методы решения любого уравнения вида
и определения его корней с любой точностью, какой только можно пожелать.
А кроме того, есть числа, не принадлежащие ни к одной из названных категорий, но все равно вычислимые. Два из них – числа π и e.
Что такое π?
Десятичное представление иррационального числа π бесконечно, никогда не повторяется и не имеет алгебраической формулы. Тем не менее и это число вычислимо.
Еще Архимед знал о существовании алгоритма, позволяющего получить десятичное представление π со всевозрастающей точностью. Этот алгоритм был основан на построении правильных многоугольников с n вершинами, вписанных в окружность. По мере стремления n к бесконечности форма такого многоугольника стремится к окружности.
В 1593 г. французский математик Франсуа Виет нашел замечательную формулу для вычисления π при помощи набора вложенных радикалов{33}.
Помимо исключительной внутренней красоты этой формулы в ней есть еще один чрезвычайно важный элемент – стоящее в ее конце многоточие, которое означает «продолжать ту же процедуру до бесконечности». Трудно поверить, но это был первый случай, когда бесконечный процесс был явно обозначен в математической формуле.
Это напоминает мне одну историю о Людвиге Витгенштейне: он, как рассказывают, предлагал слушателям своих лекций вообразить человека, который бормотал на ходу: «…5, 1, 4, 1, запятая, 3 – всё!» Когда этого человека спросили, что это такое он делает, он ответил, что только что закончил перечисление десятичного представления числа π от конца к началу, чем занимался до этого целую вечность. Эта история кажется гораздо более абсурдной, чем рассказ о человеке, который решил сесть и записать десятичное представление π от начала до конца – и будет заниматься этим вечно. Почему?
Но вернемся к числу π. Интересно отметить, что многие другие помимо Архимеда и Виета пытались вычислить десятичное представление числа π, и все эти попытки в конце концов приводили к нескончаемым столбцам или нескончаемым операциям умножения. Однако в 1656 г. английский математик Джон Валлис открыл следующую формулу:
Если попарно перемножить последовательные сомножители, формулу можно записать в следующем виде:
Это бесконечное равенство действительно да- ет все следующие и следующие цифры десятичного представления π.
Интересно отметить, что именно Джон Валлис впервые использовал в 1655 г. символ бесконечности ∞ (по правде говоря, в своей работе о вычислении площадей под названием «О конических сечениях» (De sectionibus conicis) он использовал выражение 1/∞).
В 1671 г. шотландский математик и астроном Джеймс Грегори предложил еще одну формулу для вычисления π в виде бесконечной суммы:
